Que $a,b$ ser positivo números verdaderos. Prueba $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}} \geq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$

Question

Que $a,b$ ser positivo números verdaderos. Prueba $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}} \geq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$

Si cualquiera de los dos

$(1) 0 \leq a,b \leq 1$

O

$(2) ab \geq 3$

Puesto que esta pregunta era en trigonometría, supuse que el siguiente. $a,b$ Son los números reales positivos con $0 \leq a,b \leq 1$, puedo suponer $x,y, a=\tan(x), b=\tan(y)$ y por lo tanto debe ser demostrado que

$$\frac{1}{\sec x} + \frac{1}{\sec y} = \cos x+ \cos y \geq \frac{2\cos x \cos y}{\sqrt{cos(x-y)}}$$

(Originalmente publicada sin que $2$ a la derecha - lo sentimos!)

Yo sé

$$\cos x + \cos y \geq 2 \sqrt{\cos x \cos y}$$

Ahora ¿cómo proceder? Dadme consejos!

Answer 1

Edición: Tenga en cuenta que cuando fue publicada la respuesta de abajo, y después de un largo tiempo, la expresión de la derecha era $\dfrac{1}{\sqrt{1+ab}}$.

Me deja perplejo. Supongamos sin pérdida de generalidad que $a\le b$. Entonces $1+a^2\le 1+ab$ y por lo tanto $\dots$. Así la desigualdad deseada es cierto para cualquier positivo $a$, $b$.

Answer 2

La declaración parece incorrecta: poner $a:=0.1$, $b:=1$. Entonces el lado izquierdo es $${1\over\sqrt{1.01}}+{1\over\sqrt{2}}\doteq1.702\ ,$ $ y el lado derecho es $${2\over\sqrt{1.1}}\doteq 1.907\ .$ $

Answer 3

La desigualdad se cumple con el signo de la desigualdad invertido en el primer caso.

De hecho, supongamos que $a \in [0,1]$ y definen $f \colon [0,1] \to \mathbb{R}$ por $$f(b) = \frac{2}{\sqrt{1 + ab}} - \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + b^2}},$$ para que la reclamación de cantidades a mostrar que la $f(b) \ge 0$ todos los $b \in [0,1]$. Esto se puede hacer de una manera estándar, mirando los ceros de la derivada.

En el segundo caso ($ab \ge 3$) a mí me parece que el signo de la desigualdad es correcto como se ha dicho, aunque yo no lo demuestran. (Acabo de trazados con respecto a $a$ después de la configuración de $ab = 3$.) La prueba (si la afirmación es verdadera) debe ir con un argumento similar como en la primera parte, sin embargo.

Answer 4

Buen enfoque, está muy muy cerca pero esto es cómo usted acabar con: que $u^2=\cos x$ y $t^2=\cos y$. Sustitución, usted tiene $u^2+t^2 \ge 2ut$ o $u^2-2ut+t^2 \ge 0$ y esto pueden tenerse en $(u-t)^2 \ge 0$, que es siempre verdadera, por supuesto.