Prueba de

Question

(CFE): Cada filtro de conjuntos cerrados puede ser ampliado a un máximo de uno.

(BPI): Cada álgebra de boole contiene un alojamiento ideal.

Estoy leyendo Herrlich y Stepran del papel de "Máxima filtros, la continuidad y la elección de los principios", donde en la página 700 se afirma que $CFE \implies BPI$ obviamente tiene.

Por desgracia, no es obvio para mí. Mi primera idea fue la de que es posible sostener que una máxima de filtro cerrado es primo. Pero no veo cómo demostrarlo. Para recordar las definiciones, un filtro de $F$ es el primer fib $x \lor y \in F$ implica $x \in F$ o $y \in F$ donde $\lor$ denota la combinación/supremum. En un orden parcial de conjuntos cerrados el fin de $A \le B$ sería definida por $A \subseteq B$ (o no?). A continuación,$A \lor B$$A \cup B$, y no es claro para mí cómo $A \cup B \in F$ implica que cualquiera de las $A \in F$ o $B\in F$. Y creo que el siguiente proporciona un ejemplo contrario: Vamos a $X$ ser topológico, espacio dotado de la topología trivial. Deje $A,B$ ser cualquiera de los dos no vacía de subconjuntos disjuntos con $A \cup B = X$. A continuación, $F = \{A \cup B\}$ es una máxima del filtro en $X$ que no es primo, ya que ni el $A$ ni $B$ están en él.

De ahí mi pregunta: ¿alguien a publicar una prueba de la obvia implicación $CFE \implies BPI$? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Su idea es correcta, pero tenemos que trabajar sólo en el contexto de álgebras Booleanas, porque eso es lo $\sf BPI$ nos da.

En este contexto, el primer filtros son máximas filtros. Supongamos $B$ es un álgebra de boole, $F\subseteq B$ es un primer filtro, y $a\in B$ es cualquier elemento. A continuación,$a+(-a)\in F$, y, por lo tanto, $a\in F$ o $-a\in F$. Así que no podemos extender $F$, de lo contrario no sería un poco de $a\in B$ tal que $a\notin F$$-a\notin F$.

Ahora la implicación debe ser más obvio. Suponga $\sf CFE$, y deje $B$ ser un álgebra Booleana. Tome $F$ a ser un filtro en $B$, con el fin de utilizar $\sf CFE$ necesitamos encontrar un espacio topológico tal que $B$ es isomorfo a sus conjuntos cerrados, pero eso es fácil si pensamos en $B$ con su orden como un espacio topológico.

Answer 2

Teorema $2$ de Kyriakos Keremedis y Eleftherios Tachtsis, En la extensibilidad de cerrado filtros en $T_1$ espacios y la existencia de paquete de filtro de bases, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, Vol. 40 (1999), Nº 2, 343-353, es que $CFE_0$ es equivalente a $AC$ donde $CFE_0$ es la afirmación de que cada filtro cerrado en un $T_0$ espacio se extiende a un máximo de filtro cerrado. La prueba se da en su totalidad. Ya sabemos que $AC\to BPI$, con esto se establece el resultado.

Answer 3

Yo estaba haciendo mi vida demasiado complicada en versiones anteriores.

Nota, en primer lugar, que el $\mathsf{BPI}$ es equivalente (en $\mathsf{ZF}$) a la "Ultrafilter Teorema": Cada filtro de subconjuntos de un conjunto $S$ puede ser extendido a un ultrafilter. (Ver Jech, El Axioma de Elección, el Teorema 2.2, p.17.)

Si $\mathcal{F}$ es cualquier filtro de subconjuntos de un conjunto $S$, dar $S$ la topología discreta. Como $\mathcal{F}$ es ahora un filtro de subconjuntos cerrados de $S$, $\mathsf{CFE}$ que se puede extender a un máximo de filtro de $\mathcal{G}$ de los conjuntos cerrados. Ya hemos tomado la topología discreta, es fácil mostrar que $\mathcal{G}$ es en realidad un ultrafilter en $S$ extender $\mathcal{F}$.