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Question

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$$4 \cos^2{\frac{\pi}{5}} - 2 \cos{\frac{\pi}{5}} -1 = 0$$

La pista dice "Nota $\sin{\frac{3\pi}{5}} = \sin{\frac{2\pi}{5}}$" y "Utilice el ángulo de doble/triple o de otra manera"

Por lo que tengo

$$4 \cos^2{\frac{\pi}{5}} - 2 (2 \cos^2{\frac{\pi}{10}} - 1) - 1$$

$$4 \cos^2{\frac{\pi}{5}} - 4 \cos^2{\frac{\pi}{10}} +1$$

¿Y ahora qué? ¿Hay $\frac{\pi}{5}$ y $\frac{\pi}{10}$ y no hemos utilizado la punta en $\sin$ tal vez me falta algo?

Answer 1

La pista dice usar las siguientes:

$$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3x$$

y

$$ \sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Así que si $x = \frac{\pi}{5}$, entonces se tiene, usando $\sin 3x = \sin 2x$ que

$$3 \sin x - 4 \sin^3 x = 2 \sin x \cos x $$

Desde $\sin x \neq 0$, cancelarla y utilizar $\sin^2 x = 1 - \cos ^2x$.

De una forma geométrica para encontrar el $\cos \frac{\pi}{5}$ ver: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cos36.shtml

Answer 2

El uso de las identidades $$\sin 2\theta=2\cos\theta\sin\theta$$

y $$\eqalign{\pecado 3\theta &=\sin(2\theta+\theta)\cr &= \sin2\theta \cos\theta+\sin\theta\cos2\theta\cr Y= 2\sin\theta\cos^2\theta +\sin\theta(2\cos^2\theta-1)\cr } $$ para escribir la identidad $$\textstyle\sin{2\pi\over5}=\sin(\pi-{2\pi\over5})=\sin{3\pi\over5}$$ como $$\etiqueta{1}\estilo de texto 2\sin{\pi\over5}\cos{\pi\over5} = 2\sin{\pi\over5}\cos^2{\pi\over5} +\sin{\pi\over5}(2\cos^2{\pi\over5}-1). $$ Cancelar el plazo $\sin{\pi\over5}\ne0$ desde ambos lados de la ecuación ($(1)$ le da: $$\estilo de texto 2 \cos{\pi\over5} = 2\cos^2{\pi\over5} + (2\cos^2{\pi\over5}-1); $$ o, $$\estilo de texto 0 = 4\cos^2{\pi\over5} -2\cos{\pi\over5} -1 , $$ como se desee.

Answer 3

Aquí es un enfoque alternativo.

Utilizando la fórmula de Moivre, obtenemos para $\theta=\frac{\pi}{5}$ $$ 0=(\cos(\theta)+i\sin(\theta)) ^ 5 + 1\tag {1} $$ Mira la parte real de $(1)$ rinde $$ \begin{align} 0 &=\color{red}{\cos^5(\theta)}\color{green}{-10\cos^3(\theta)\sin^2(\theta)}\color{blue}{+5\cos(\theta)\sin^4(\theta)}+1\\ &=\color{red}{\cos^5(\theta)}\color{green}{-10\cos^3(\theta)+10\cos^5(\theta)}\color{blue}{+5\cos(\theta)-10\cos^3(\theta)+5\cos^5(\theta)}+1\\ &=16\cos^5(\theta)-20\cos^3(\theta)+5\cos(\theta)+1\\ &=(4\cos^2(\theta)-2\cos(\theta)-1)^2(\cos(\theta)+1)\tag{2} \end {Alinee el} $$ Desde $\cos(\theta)=-1$ sólo cuando $\theta$ es un múltiplo impar de $\pi$, nos quedamos con $$ 4\cos ^ 2\left(\frac{\pi}{5}\right)-2\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - 1 = 0\tag {3} $$

Answer 4

No tienes que utilizar la pista. Que $x = {\pi \over 5}$. Entonces $\cos(3x) = -\cos(2x)$ desde $3x + 2x = \pi$. Desde $\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$ y $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ %#% $ de #% esto simplifica a $$4\cos^3(x) - 3\cos(x) = - ( 2\cos^2(x) - 1)$ $ esto factores en $$4\cos^3(x) + 2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 1 = 0$ $ $$(4\cos^2(x) - 2\cos(x) - 1)(\cos(x) + 1) = 0$ no es $\cos(x)$ que usted consigue, consigue la ecuación deseada $-1$.