Definiciones equivalentes de norma Ideal

Question

Deje $A \subseteq B$ ser dominios de Dedekind, con $K \subseteq L$ su cociente de los campos de con $L/K$ finito y separables. Si $J$ es un ideal fraccional de $B$, luego $$ J = \prod\limits_{\mathfrak B} \mathfrak{B}^{v_{\mathfrak B} J} $$ where the product runs through the prime ideals of $B$, $v_{\mathfrak B}$ is the valuation obtained from the discrete valuation ring $B_{\mathfrak B}$ (normalized by setting $v_{\mathfrak B}(\varpi) = 1$ for a generator $\varpi$ of $\mathfrak B B_{\mathfrak B}$), and $v_{\mathfrak B}(J) = Min \{ v_{\mathfrak B}(j) : j \J\}$.

Deje $P = \mathfrak B \cap A$ por cada $\mathfrak B$. Serge Lang define la norma $N_{L/K}(J)$ $\prod\limits_{\mathfrak B} P^{v_{\mathfrak B}(J^{f(\mathfrak B/P)})}$ donde $f(\mathfrak B/P)$ es la dimensión $[B/\mathfrak B : A / P]$.

Por otro lado, Frohlich en la Teoría Algebraica de números da una definición diferente. Para cada uno de los prime ideal $P$ de $A$, $J_P = J(A \setminus P)^{-1}$ y $B_P$ son gratuitas $A_P$ módulos y contienen una base para $L/K$, por lo que hay un $K$-módulo de isomorfismo $\phi_P: L \rightarrow L$ que $\phi_P(B_P) = J_P$. El determinante $det(\phi_P) \in K$ es único hasta una unidad en $A_P$, por lo que el director ideal $det(\phi_P)A_P$ es el mismo independientemente de la opción de $\phi_P$. La norma $N_{L/K}(J)$ se define como $$ \prod\limits_{P} P^{v_P(det(\phi_P))} $ $ ¿Cómo hace uno para probar estas definiciones son equivalentes?

Answer 1

Pensé que me atrevo a compartir algunas reflexiones sobre el problema:

Definir $\displaystyle N_{L/K}(J):=\prod_{\mathfrak{B}}\mathfrak{B}^{v_p(J)f(\mathfrak{B}/P)}$$\displaystyle N_{L/K}'(J):=\prod_{P}P^{v_P(det(\phi_p))}$.

• Tanto en $N_{L/K}$ $N_{L/K}'$ son homomorphisms $Id(B) \rightarrow Id(A)$ donde $Id$ denota el ideal de los grupos (Esto requiere un poco de trabajo en el caso de $N_{L/K}'$). Como $Id(B)$ es el libre abelian grupo durante el primer ideales, basta ver que $N_{L/K}$ $N_{L/K}'$ coinciden en un primer ideal $\mathfrak{P} \in Id(B)$$P \in Id(A)$.
• Considere la posibilidad de que el exponente de a $N_{L/K}'$. El $K$-espacio vectorial isomorfismo $\phi_P:L \rightarrow L$ restringe a un $A_P$-módulo homomorphism $\phi_P:B_P \rightarrow B_P$ imagen $\mathfrak{P}(A\setminus P)^{-1}= \mathfrak{P}B_P$.

• Como $A_P$ es un PID, podemos aplicar la Smith Forma Normal a $\phi_P$ conseguir $e_1 \mid \dots \mid e_n \in A_P$ tal que $\phi$ está representado por una matriz diagonal diagonal con entradas de $e_1,\dots,e_n$. Por lo tanto, $det(\phi_P)A_p = (\prod_ie_i)A_p$. También por la estructura teorema $$B_P/\mathfrak{P}B_P =coker \,\phi\cong \prod_{i=1}^nA_P/e_iA_P.$$

• Como la izquierda es ya un $A_P/PA_P$-módulo, de modo que es el lado derecho (comparar aniquiladores de $A_P$-módulos) y el isomorfismo es un isomorfismo de $A_P/PA_P$-espacios vectoriales. Por lo tanto para cada $i$ $e_iA_P=A_P$ o $e_iA_P=PA_P$. Mediante la comparación de $A_P/PA_P$-dimensiones obtenemos $$v_P((det \phi_P)) = v_P(\prod e_iA_P) = \dim(\prod_{i=1}^nA_P/e_iA_P) = \dim(B_P/\mathfrak{P}B_P)=f(\mathfrak{P}B_P\mid PA_P).$$

Sospecho que $f(\mathfrak{P}B_P\mid PA_P)=f(\mathfrak{P} \mid P)$, lo que daría el resultado deseado $N_{L/K}'(\mathfrak{P}) = P^{f(\mathfrak{P}\mid P)}$ pero no estoy seguro. Por supuesto, es perfectamente posible que he hecho un montón de errores en el camino.