Estoy estudiando para un examen de calificación pero me he quedado atascado en este problema:
Deje que $G$ ser un grupo finito, $S$ un Sylow $2$ -subgrupo de $G$ , $T \leq S$ con $|S/T| = 2$ y $g \in G$ con $|g|=2$ . Supongamos que $hgh^{-1} \not \in T$ para todos $h \in G$ . Mostrar que existe un subgrupo $H$ de $G$ con $|G/H| = 2$ y $g \not\in H$ .
He considerado la acción de $G$ en $G/T$ por la multiplicación a la izquierda. Si dejamos $|G| = 2^km$ donde $2 \not \mid m$ Entonces $|T| = 2^{k-1}$ y así $|G/T| = 2m$ . Estamos buscando un subgrupo de orden $2^{k-1}m$ . Entonces miré el núcleo de la acción, ya que $g$ no está en el núcleo. Sin embargo, el núcleo no es un subgrupo lo suficientemente grande.
¡Se agradecería cualquier sugerencia para este problema!
