Mostrar que$f(x) = 0$ para todos$x \in [a,b]$ dado$|f'(x)| \leq C|f(x)| $

Question

Supongamos que para números reales $a<b$ uno tiene una función continua derivado $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ tal que $f(a) = 0$ y existe un número real $C$ con $$|f'(x)| \leq C|f(x)|$$ for all $x \in [a,b]$.

Mostrar que $f(x) = 0$ todos los $x \in [a,b]$.

Bueno, ya $f(a) = 0$,$|f'(a)| \leq C|0|$, lo $|f'(a)| = 0$. Desde $f$ tiene un continuo derivado, también sabemos que $f$ es continua. Desde $f$ es continua en un intervalo compacto, $f$ obtiene un máximo, digamos a $\xi \in [a,b]$. Por eso, $|f'(x)| \leq C|f(\xi)|$. Puesto que la derivada es acotado, obtenemos que $f$ es de Lipschitz, por lo $f$ también es uniformemente continua.

Supongamos que al contrario que $f(\xi) > 0$? El de arriba es casi todo lo que pude averiguar acerca de $f$, así que no estoy seguro de qué hacer a continuación. Esta es también la de un viejo qual y, posiblemente, utiliza los métodos de más allá de nuestro curso.

Creo que tal vez debería intentar mostrar que $|f'(x)| = 0$ todos los $x$, pero no sé cómo.

Answer 1

Suponga que existe$x_0$ tal que$f(x_0)\ne 0.$ Dado que$f$ es continuo existe un intervalo máximo$(c,d)$ tal que$f(x)\ne 0$ on$(c,d)$ y$f(c)=0.$(Tenga en cuenta que puede ser$c=a.$)

Ahora tenemos que$g(x)=\ln |f(x)|$ satisface$|g'(x)|\le C.$ Por lo tanto, para cualquier$t\in (0,1)$ y$\epsilon=x_0-c$

$$|g(x_0)-g(c+t\epsilon)|=\left|\int_{c+t\epsilon}^{x_0}g'(x)dx\right|\le C(x_0-c-t\epsilon).$$ Take the limit as $ t \ a 0 $ para obtener una contradicción.

Answer 2

Sugerencia: Si$|f(a)|\leq k$, entonces$|f(x)|\leq kCe^{x-a}$.