¿$\sum_{i=1}^\infty a_i/i < \infty$ Implica que$a_i$ tiene Cesaro significa cero?

Question

Si$(a_i)_{i=1}^\infty$ es una secuencia de números reales positivos tales que:

ps

¿Significa esto que la secuencia$$ \sum_{i=1}^\infty \frac{a_i}{i} < \infty. $ tiene Cesaro significa cero? Como en

ps

Answer 1

Teorema de la convergencia dominada, versión suma. Sea$b_n$ la secuencia$$b_n(k) = \cases{a_k/n & if $ k \ le n$\cr 0 & otherwise\cr}$ $ Entonces$|b_n| \le c$ donde$c(k) = a_k/k$ y$b_n \to 0$ pointwise. Dado que$c \in \ell^1$, concluimos que$\lim_{n \to \infty} \sum b_n = \sum \lim_{n \to \infty} b_n = 0$.

Answer 2

La suma por partes da:$$\sum_{i=1}^{n}a_i=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{i}+\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{k=j+1}^{n}\frac{a_k}{k},\tag{1}$ $ mientras que la convergencia de$\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{a_i}{i}$ da que para cualquier$\varepsilon>0$ existe$M_\varepsilon$ tal que$$\sum_{n\geq M_\varepsilon}\frac{a_i}{i}\leq \varepsilon.$ % #%, Tenemos, a través de$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n}=C$:$(1)$ $ Dado que$$\sum_{i=1}^{KM_\varepsilon}a_i\leq C+CM_\varepsilon+\varepsilon(K-1)M_\varepsilon,\tag{2}$ fue arbitrario, esto demuestra que$$\limsup_{K\to +\infty}\frac{1}{KM_\varepsilon}\sum_{i=1}^{K M_\varepsilon}a_i \leq \varepsilon.\tag{3}$ es Césaro sumado a cero Como se conjetura.

Answer 3

Ponga$S_0=0$ y para$n\geq 1$,$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k}$; Tenga en cuenta que$S_n$ es convergente, digamos a$S$. Tenemos para$n\geq 1$ que$a_n=n(S_n-S_{n-1})$ y por lo tanto$a_1+\cdots+a_n=nS_n-\sum_{k=0}^{n-1} S_k$. Así que$$T_n=\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}=S_n-\frac{\sum_{k=1}^{n-1}S_k}{n}$ $ y$T_n\to S-S=0$, y hemos terminado.

Answer 4

Acabo de descubrir que este resultado tiene un nombre. Si alguien quería una referencia, se llama el lemma de Kronecker .