Axiomatizabilidad de algunas clases de grupos

Question

Quiero comprobar cuáles de las siguientes clases son axiomatizable y que son incluso finitely axiomatizable.

1. la clase de grupos finitos
2. la clase de los infinitos grupos
3. la clase de los grupos de orden $n$ fijos $n$
4. la clase de torsión grupos
5. la clase de torsión libre de grupos

Intentos:

1. No axiomatizable debido a la compacidad.
2. Creo que el grupo de axiomas además de la secuencia de fórmulas ("hay $n$ elementos distintos") debe dar una axiomatization. Si era finitely axiomatizable entonces lo era el complemento (es decir, todas las estructuras que no describa infinito grupos), lo que parece malo, pero no estoy seguro de cómo argumentar esto.
3. El grupo de axiomas plus "hay $n$ elementos distintos" plus "hay no $n+1$ elementos distintos" debe dar un número finito de axiomatization?
4. / 5. No estoy seguro de cómo abordar la torsión de la cosa.

Answer 1

Usted está en lo correcto para 1, 2, y 3. A continuación son algunos bocetos de cómo hacer los otros.

A ver por qué 2 no es finitely axiomatizable, usted puede tomar un ultraproduct de $\mathbb{Z}_p$ $p\in{}\mathbb{N}$ prime. Este es un infinito de grupo, por lo que el complemento no es cerrado bajo ultraproducts, lo que significa que la clase de los infinitos grupos no es finitely axiomatizable.

Para 4, tenga en cuenta que en una torsión de grupo, cada elemento tiene orden finito. Deje $C$ ser la clase de torsión grupos y $T$ la teoría. Hay miembros de esta clase con elementos de arbitrariamente grandes orden (ver el $\mathbb{Z}_n$), por lo que usted puede escribir las frases que dicen "existe un elemento de orden $n$" para cada una de las $n\geq{}1$. A continuación, vamos a $T'=T\cup{}\{{}\phi_n\}{}$ por cada $n$. Desde cualquier subconjunto finito de $T'$ es consistente, por compacidad hay un modelo de $T'$ con un elemento de infinito, por lo tanto, no es una torsión de grupo. Así que no es axiomatizable.

Para 5, podemos hacer algo similar a 2. Para torsión libre de grupos que pueden incluir sentencias de $\phi_n$ que dicen que el único elemento que se planteó a la $n$th potencia que es igual a $e$$e$. Sin embargo no es finitely axiomatizable ya que puede tomar un ultraproduct de los grupos que han de torsión de los elementos y obtener una torsión de grupo libre. Por ejemplo, tomar la ultraproduct de $\mathbb{Z}_p$. La estructura con el universo $\mathbb{Z}_p$ es una de torsión-grupo para cada una de las $p$, pero el ultraproduct no ser uno de ellos.