La extracción individual de los resultados de la carrera de Mario Kart resultados finales

Question

En Mario Kart, una "taza" consiste en 4 carreras, y después de cada carrera de cada corredor recibe los puntos se otorgan dependiendo de en qué lugar llegaron (mejor rango significa más puntos). Después de jugar bastante yo sentía curiosidad sobre el problema matemático tratando de razonar hacia atrás desde el final de la puntuación individual de los resultados de la carrera - cuando es posible y cómo podría hacerlo?

Formalmente, el problema va como esto: supongamos que tenemos un vector de puntuación $\mathbf{v}\in\mathbb{Z}^n$ con componentes que son estrictamente decreciente con el índice. Hay $r$ permutación de matrices de $P_1,P_2,\dots,P_r$ que nosotros no tenemos, pero tenemos la puntuación final de vectores $\mathbf{f}=(P_1+P_2+\cdots+P_r)\mathbf{v}$. Qué condiciones en nuestra información - $\mathbf{v},r,\mathbf{f}$ - permitir que exista una solución única, y cómo podría ir sobre la computación? Me imagino que si $r$ es lo suficientemente pequeño en comparación con $n$ y la puntuación de vectores $\mathbf{v}$ es "escasa" o los componentes de "independiente" es suficiente (una difusa de la intuición), probablemente habrá una solución única, pero no se ve en todos los susceptibles de álgebra lineal métodos, que yo sepa.

Más en general, podríamos entender la puntuación del vector de granizo de un tipo de espacio vectorial, o entender la puntuación de la distribución de las matrices de $P_i$ a ser de otro candidato conjunto de matrices de permutación (tal vez de un grupo de representación de algo que no es el grupo simétrico?).

Answer 1

Nunca se me ocurrió jugar Mario Kart en esta forma :)

Una condición suficiente sería tener "la máxima independiente" valores de $v_i$, por ejemplo, que todos ellos son los logaritmos de los diferentes números primos; de esa manera, es fácil reconstruir el conjunto completo de las puntuaciones para cada jugador. Sin embargo, esto sólo permitiría reconstruir la suma de las matrices, y no el conjunto de matrices individuales $P_i$.

Para tener $P_i$ un requisito obvio es que para cualquier $n \geq 2$ ni $n$ los jugadores pueden tener un conjunto de $n$ los resultados en común, por ejemplo, si los jugadores 3 y 4 ambos tienen las puntuaciones en x y en y, a continuación, hay al menos dos maneras de construir la $P_i$. En la matriz de términos, esto significa que no submatriz de la "suma de la matriz" puede ser estrictamente positivo. Tal vez Perron–Frobenius-como de los resultados puede ayudar a partir de allí.