un problema de continuidad en el punto racional e irracional

Question

[NBHM_2006_PhD Screening Test_Topology]

Dejemos que $f$ sea la función sobre $\mathbb{R}$ definido por $f(t) = \frac{p+\sqrt{2}}{q+\sqrt{2}}\frac{p}{q}$ si $t = \frac{p}{q}$ con $p, q \in \mathbb{Z}$ y $p$ y $q$ coprima entre sí, y $f(t) = 0$ si $t$ es irracional.

Responde a lo siguiente:

1. A qué números irracionales $t$ es $f$ es continua?

2. A qué números racionales $t$ es $f$ ¿constantemente?

Estoy totalmente atrapado en este problema. ¿Cómo puedo resolver este problema?

Answer 1

Empezaré con el 2, ya que es más fácil.

Supongamos que $f$ es continua en el número racional $t=\frac{p}{q}$ . Esto significa que si $x_n \to t$ entonces $f(x_n) \to f(t)=\frac{p+\sqrt{2}}{q+\sqrt{2}}-\frac{p}{q} = \frac{\sqrt{2}(q-p)}{q(q+\sqrt{2})}$ . Como los irracionales son densos, hay una secuencia de números irracionales $y_n$ que tiende a $t$ , en cuyo caso debemos tener $0=f(y_n) \to \frac{\sqrt{2}(q-p)}{q(q+\sqrt{2})}$ , demostrando $\frac{\sqrt{2}(q-p)}{q(q+\sqrt{2})}=0$ es decir $p=q$ o: $t=1$ .

Demostraremos que $f$ es efectivamente continua en $1$ . Sea $x_n$ sea una secuencia de números que tiende a $1$ . Podemos suponer que está formado por números racionales $\frac{a_n>0}{b_n>0}$ (ya que los irracionales siempre dan el valor del límite). Tenemos que demostrar $\frac{a_n+\sqrt{2}}{b_n+\sqrt{2}} - \frac{a_n}{b_n} \to 0$ o $\frac{a_n+\sqrt{2}}{b_n+\sqrt{2}} \to 1$ o $\frac{a_n-b_n}{b_n+\sqrt{2}} \to 0$ o $\frac{\frac{a_n}{b_n}-1}{1+\frac{\sqrt{2}}{b_n}} \to 0$ , lo cual es cierto ya que el nominador va a 0 y el denominador está acotado por debajo por 1.

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Es hora de la primera parte. Diga $f$ es continua en el irracional $t$ . Desde $f(t)=0$ necesitamos determinar cuándo $\frac{a_n}{b_n} \to t$ implica $f(\frac{a_n}{b_n}) = \frac{\sqrt{2}(b_n-a_n)}{b_n(b_n+\sqrt{2})} = \sqrt{2} (1-\frac{a_n}{b_n})\frac{1}{b_n+\sqrt{2}}\to 0$ . Desde $\sqrt{2} (1-\frac{a_n}{b_n}) \to \sqrt{2}(1-t)\neq 0$ Necesitamos entender cuándo $\frac{a_n}{b_n} \to t$ implica $|b_n + \sqrt{2}| \to \infty$ es decir $|b_n| \to \infty$ .

Esto siempre está implícito, ya que un irracional $t$ no puede ser aproximado por números racionales con denominador acotado. Consideremos el conjunto $A=\{ \frac{a}{b} | 1 \le |b| \le M \}$ . Demostraremos que $c_{M}=\min_{x \in A} |x-t|$ existe y es positivo. Existe ya que para cualquier opción de $b$ (hay finitamente muchos), hay un mejor adecuado $a$ : esto equivale a encontrar el número entero más cercano a un número, $\min_{a \in \mathbb{Z}} |\frac{a}{b}-t| = \frac{1}{b}\min_{a \in \mathbb{Z}} |a-tb| $ . Es positivo ya que $t$ es irracional. Esto demuestra que para cualquier $M$ , hay $N$ tal que $n \ge N \implies |b_n| > M$ , solo toma $N$ tal que $|\frac{a_n}{b_n}-t| < c_M$ para $n\ge N$ .

En conclusión: $f$ es continua en $1$ y en los números irracionales, es decir, siempre que llegue a 0.