Área del "polígono" inscrito en el círculo, cuyas longitudes de los lados forman una serie geométrica

Question

$\{v_0, v_n : n\in \Bbb{N}\}$ son puntos de la circunferencia de un círculo unitario que tienen las tres propiedades siguientes:

• Las distancias (en línea recta) entre los puntos vecinos de la secuencia forman una serie geométrica convergente. Es decir, para todo $n>0$ , $d(v_n,v_{n+1}) = r\cdot d(v_{n-1},v_n) $ avec $r$ una relación constante para todo el conjunto de vértices, y $0<r<1$ .

• $\lim_{n_to\infty} d(v_n,v_0) = 0$ . Es decir, el "polígono" formado por estos vértices forma una figura cerrada (en el límite) sin tener que añadir un "último" lado que vuelva a $v_0$ .

• Para todos $n>0$ el más corto de los dos arcos de $v_n$ a $v_{n+1}$ no contiene $v_0$ . Es decir, los lados dan una sola vuelta al círculo.

Quiero encontrar el área de este "polígono" en función de la relación de lados $r$ . (Aunque el número de lados necesarios para cerrar la forma es infinito, se puede definir fácilmente el área como límite, ya que $k$ va al infinito, del área formada por el primer $k$ lados y un último lado añadido que conecta $v_{k-1}$ a $v_0$ .)

Hay varias cosas que quedan claras de inmediato:

• Esta zona no está definida para $r<\frac12$ porque el conjunto de líneas no puede ser un "polígono" cerrado (en el límite) a no ser que la suma de las longitudes de todos los lados distintos del primero sea mayor que el primer lado. Así que la función $A(r)$ sólo tiene que encontrarse en el intervalo abierto $(\frac12,1)$ .

• Para cualquier $r \in( \frac12,1)$ existe un valor de $L_0 \equiv d(v_0,v_1)$ de manera que la figura se cierre exactamente sin sobrepasar el límite. $L(r)$ tiene la propiedad de que $$ \sum_{n=0}^\infty \sin^{-1}\left(\frac{L}{2}r^n\right) = \pi$$

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EDITAR Para $r$ abajo sobre $0.6$ , el primer arco cubre más de la mitad del círculo, y el área del polígono no incluye ese primer "superbordillo". En esa circunstancia, $L(r)$ tendría la propiedad de que

$$ \sum_{n=1}^\infty \sin^{-1}\left(\frac{L}{2}r^n\right) = \sin^{-1}\left(\frac{L}{2}\right) $$

Sin embargo, mis toqueteos numéricos indican que no se puede satisfacer esto, y eso tiene sentido ya que arcsin es cóncavo hacia arriba.

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• $\lim_{r\to\frac12} A(r) =0$ y $\lim_{r\to 1} A(r) =\pi$ . La primera representa un recorrido casi perfecto del primer lado a lo largo de un arco muy corto que es casi una línea recta; la segunda representa la vuelta al círculo en lo que es casi un polígono inscrito regular.

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EDITAR El caso de la línea casi recta no se da; véase la edición anterior.

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También estoy casi seguro de que para los pequeños positivos $\epsilon$ , $A(r)$ tiene una segunda derivada positiva en $r=\frac12 + \epsilon$ y una segunda derivada negativa en $r = 1-\epsilon$ y que $A(r)$ tiene un solo punto de inflexión.

Mi pregunta, entonces, es encontrar $A(r)$ o, en su defecto, describir algunas propiedades no triviales de $A(r)$ .

Answer 1

EDITAR.

Función $L(r)$ está definida implícitamente por la ecuación: $$ \sum_{n=0}^\infty\arcsin\left({1\over2}L(r)\ r^n\right)=\pi $$ si $r\ge r_0\approx0.602527$ y por la ecuación $$ \sum_{n=1}^\infty\arcsin\left({1\over2}L(r)\ r^n\right)=\arcsin\left({1\over2}L(r)\right) $$ si ${1/2}<r<r_0$ . Aquí hay una parcela de $L(r)$ obtenido mediante un cálculo numérico:

Si $r\ge r_0$ el polígono es la suma de triángulos isósceles $T_n$ con vértice en el centro de la circunferencia y base $L_n=L(r)r^n$ por lo que su área viene dada por $$ A(r)=\sum_{n=0}^\infty{1\over2}L(r)\ r^n\sqrt{1-{1\over4}L(r)^2r^{2n}}. $$ Si $r<r_0$ al primer triángulo hay que restarle la suma de los otros, lo que lleva a $$ A(r)=-{1\over2}L(r)\sqrt{1-{1\over4}L(r)^2}+ \sum_{n=1}^\infty{1\over2}L(r)\ r^n\sqrt{1-{1\over4}L(r)^2r^{2n}}. $$ Aquí hay una parcela de $A(r)$ :

Para una mejor visualización del comportamiento cerca de $r=1/2$ Aquí hay un primer plano de la misma trama: