Elementos del grupo$x$ y$y$ satisfying$x^2 = y^2x^2y$ y$yx^{-1}y^2 = x^7$ commute.

Question

La Pregunta

Supongamos que $x$ $y$ son los elementos de un grupo que $$x^2 = y^2x^2y$$ y $$yx^{-1}y^2 = x^7.$$ Mostrar que $x$ $y$ viaje.

La motivación

Esto ocurrió en otra pregunta, donde fue invitado a establecer que la presentación $$\langle x,y \mid x^2 = y^2x^2y, (xy^2)^2 = yx^2, yx^{-1}y^2 = x^7\rangle,$$ en la que la segunda relación es redundante (señalado por Derek Holt), es cíclico de orden $24$. Yo era capaz de hacerlo, pero mi argumento usado los tres relaciones, y yo no era capaz de salir con uno que no hizo uso de la segunda, redundante relación. Yo lo he intentado, pero sin éxito, para hacerlo sólo con el primer y tercer relaciones, por lo que estaría interesado en ver este tipo de argumento es que si uno puede ser tenido. (El resto de la prueba pasa a través de bien utilizando únicamente las dos relaciones.)

(Nota: Los enlaces pregunta puede desaparecer; actualmente se encuentra en espera.)

Answer 1

Deje $G$ ser el grupo en cuestión. En $G$, tenemos:

$x^2 = y^2x^2y$ (1), y

$yx^{-1}y^2=x^7$ (2) $\Rightarrow y^2=xy^{-1}x^7$

Sustituir en (1)

$x^2=xy^{-1}x^7x^2y \Rightarrow yxy^{-1} = x^9$ (3)

(3) $\Rightarrow yx^{-1} = x^{-9}y$, sustituyendo en (2) para obtener $x^{-9}y^3 =x^7\Rightarrow y^3 = x^{16}$.

Dado que el elemento $y^3=x^{16}$ viajes con tanto $x$$y$, está en el centro de la $G$. Deje $N = \langle y^3 \rangle$$H = G/N$. Por lo $H$ es el grupo $G$ con el adicional de las relaciones de $y^3=x^{16}=1$.

Pero en $H$, hemos de (3), $y^2xy^{-2} = x^{9^2} = x^{81} = x$, por lo $y^2=y^{-1}$ $x$ viaje y $H$ es abelian, y en el hecho de $x^8=1$ $H$ $H$ es cíclico de orden $24$.

Pero luego, desde el $N \le Z(G)$ y $G/N=H$, $G/Z(G)$ es cíclico, $G$ es abelian.