Considere$S$ una superficie homeomórfica a una suma conectada de$n$ de planos proyectivos,$n \geq 2$. ¿Puede haber un plano proyectivo de dos caras incrustado en$[-\epsilon,\epsilon]\times S$?
Respuesta
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Llame a su superficie $\Sigma$ a fin de evitar confusión con las esferas. Nuestro primer curso de acción que tenga en cuenta que $\Sigma$ no 2-torsión en su grupo fundamental. (En realidad, hay mucho más en lo cierto: un número finito de CW complejo con contráctiles la universalización de la cobertura no tiene torsión en su grupo fundamental. No la voy a necesitar o probar esto.) Para ver esto, observe que si lo hizo, que tiene como cubrir el espacio de un noncompact superficie con grupo fundamental de la $\Bbb Z/2$; pero el solo simplemente conectado superficies se $S^2$$\Bbb R^2$, e $\Bbb R^2$ no tiene ningún continua de involuciones con ningún punto fijo. (Es más fácil ver que ni la $\Bbb R^2$ o la unidad de disco con la métrica hiperbólica han isométrica de involuciones sin punto fijo; sólo tenemos que trabajar en el caso de isométricos de cocientes por el teorema de uniformización.)
Algo un poco más fuerte que su pregunta es verdad: no hay ni un 2-cara $\Bbb{RP}^2$$\Sigma \times S^1$. (De hecho, no hay incrustado $\Bbb{RP}^2$ a todos, desde un colector con un 1-cara $\Bbb{RP}^2$ $\Bbb{RP}^3$ conectado sumando, y nosotros no 2-torsión en nuestro grupo fundamental, por lo que no es posible.)
Para ver esto, observe que un 2-cara $\Bbb{RP}^2$ no es posible desconectar el colector: esto implicaría que $\Bbb{RP}^2$ límites de un compacto de 3-colector, que no. El hecho de que no se desconecte implica que es una homologically trivial submanifold (lo que significa que representa un valor distinto de cero de la clase en $H_2$): usted puede encontrar un bucle que se cruza con $\Bbb{RP}^2$ precisamente en un punto, y mod 2 intersección números se definen en el nivel de homología de las clases.
Ahora recuerdo que $\pi_1(S^1 \times \Sigma)$ no 2-torsión, por lo que el mapa de $\pi_1(\Bbb{RP}^2) \to \pi_1(S^1 \times \Sigma)$ es trivial, y el mapa de $\Bbb{RP}^2$ factores a través de la universalización de la cobertura de $S^1 \times \Sigma$: es decir, a través de $\Bbb R^3$. Pero $\Bbb R^3$ es contráctiles, lo que implica su 2 caras de la incrustación de $\Bbb{RP}^2$ fue null-homotópica. Esto se contradice con el hecho anterior, que fue un homologically trivial submanifold.
