Un ejemplo de $m$ -ideal primario en el dominio local noetheriano

Question

¿Hay algún ejemplo de $m$ -ideal primario $I$ en un dominio local noetheriano $(R, m)$ tal que $I^2=mI\not=m^2 $ ?

Answer 1

He aquí un ejemplo: Tome $R = \mathbb{Q}[x,y,z,w]_{(x,y,z,w)}/(x^2-zw, z^2-yw, y^3-xw, w^3-xy^2z)$ . Se puede comprobar (por ejemplo, en Macaulay2 ) que $R$ es un dominio (con $\dim R = 1$ ). Sea $m = (x,y,z,w)$ sea el ideal maximal, y establezca $I = (x,y,z)$ . Entonces la primera $3$ relaciones en $R$ garantizar que $I^2 = mI$ mientras que la última relación da que $w^3 \in I^2$ Así que $m^3 \subseteq I$ y $I$ es $m$ -primario, pero de hecho $w^2 \in m^2 \setminus I^2$ .