Estimador imparcial de dos SRS menos duplicados

Question

Supongamos que tomar dos muestras aleatorias de una población de tamaño $N$: la primera es una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ y el segundo es una muestra aleatoria simple de tamaño $m$. Deje $S$ contienen todos los registros seleccionados a partir de las dos muestras de tamaño $n$ $m$ menos de los duplicados. Por lo tanto, $S$ debe consistir $n_s$ registros donde $n_s$ $\le ($$m$+$n$) desde $S$ no contiene duplicados.

Estoy tratando de crear un imparcial estimador para el total de población que sólo depende de los registros en $S$ en términos de sólo todos $y_i$, $n$, $m$, y $N$.

Traté de imitar el imparcial Horvitz Thompson estimador $\hat{t} = \sum_{iϵS}y_i/\pi_i$ donde $\pi_i$ es la probabilidad de que $y_i$$S$. Aquí, creo $\pi_i$ es la probabilidad de la unión de el caso de que $y_i$ es seleccionado en la primera muestra de $n$ personas y el evento que $y_i$ es seleccionado en la segunda muestra de $m$ de la gente. Sin embargo, estoy seguro de cómo expresar el límite superior de la suma sin el uso de $n_s$.

Es allí una manera de imitar la Horvitz Thompson estimador en términos sólo de todos los $y_i$, $n$, $m$, y $N$? O debo de tomar un enfoque diferente para la creación de un estimador imparcial?

Answer 1

Una opción es derivar dos estimaciones HT independientes de cada muestra:$s_1$ y$s_2$:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Y entonces usted puede usar el promedio de ambas estimaciones para obtener otra estimación imparcial de$\hat{t}_1 = \sum_{i \in s_1} \frac{y_i}{\pi_i} = \frac{N}{n} \sum_{i \in s_1} y_i$:

$ \ Hat {t} = \ frac {1} {2} \ left (\ hat {t} _1 \ hat {t} _2 \ right) = \ frac {N} {2} } {N} \ sum_ {i \ in s_1} y_i \ frac {1} {m} \ sum_ {i \ in s_2} y_i \ right) $.

Answer 2

Hay otra solución.

Puede calcular la probabilidad de muestreo para cada individuo a ser muestreado en la muestra combinada$S$ por

ps

Puede aplicar el estimador HT estándar para el total de la población ahora:

ps