Creo, basado en la evidencia numérica, que$$\sum_{n=2}^\infty \frac{x^n}{(\log n) n!} \sim \frac{\exp(x)}{\log(x)}$ #% x \ a \ infty $. Sin embargo, no estoy seguro de cómo probar esto. ¿Cuál sería una buena manera de abordar este problema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considerar las relacionadas con suma finita $$ s(x)=\sum\limits_n\frac{x^n}{n!}\mathbf 1_{x/2\leqslant n\leqslant 2x}=\mathrm e^x\cdot\mathbb P(x/2\leqslant N_x\leqslant 2x), $$ donde $N_x$ es una variable aleatoria de Poisson con parámetro de $x$. Una gran desviación de las estimaciones asegura que, para cada $x$ lo suficientemente grande, $\mathbb P(x/2\leqslant N_x\leqslant 2x)=1-p(x)$ donde $0\lt p(x)\leqslant\mathrm e^{-cx}$ positivos $c$.
La serie $f(x)$ que se estima es $f(x)=g(x)+h(x)$ donde $g(x)$ suma los términos de tal manera que $x/2\leqslant n\leqslant2x$ $h(x)$ sumas los otros términos. Tenga en cuenta que$0\leqslant h(x)\leqslant\mathrm e^x p(x)/\log2$$s(x)/\log(2x)\leqslant g(x)\leqslant s(x)/\log(x/2)$, por lo tanto $$ \mathrm e^{x}\frac{1-\mathrm e^{-cx}}{\log x+\log 2}\leqslant f(x)\leqslant\frac{\mathrm e^x}{\log x-\log 2}+\mathrm e^x\frac{\mathrm e^{-cx}}{\log 2}. $$ Finalmente, $$ f(x)=\frac{\mathrm e^x}{\log x}\,\left(1+O\left(\frac1{\log x}\right)\right). $$ Nota: Con un poco más de atención, se puede reemplazar la $O\left(\frac1{\log x}\right)$ término de error por $O\left(x^{a-1/2}\right)$, para cada positivos $a$.
