$ \lim \frac{a^x-b^x}{x}$ como donde $x \to 0$

Question

Calcular$ \displaystyle \lim _{x \to 0} \frac{a^x-b^x}{x}$ donde$a>b>0$

Mis pensamientos: Creo que la regla de L'hopital se aplicaría. Pero la diferenciación me da un límite camino más complicado. Intenté ver si es la derivada de alguna función evaluada en un punto, pero no puedo encontrar tal función.

Answer 1

La aplicación de la regla de L'Hospital le da:$$ \lim _{x \to 0} \frac{a^x-b^x}{x} = \lim _{x \to 0} a^x \cdot \log a-b^x \cdot \log b = \log a - \log b = \log {a \over b}$ $

Answer 2

Su otra sugerencia también funciona. Tenga en cuenta que nuestra función es igual a$$b^x \frac{(a/b)^x-1}{x}.$ $ Se puede reconocer$$\lim_{x\to 0}\frac{(a/b)^x-1}{x}$ $ como un derivado.

Aún más simple, reconocemos$$\lim_{x\to 0} \frac{a^x-b^x-0}{x}$ $ como un derivarive.

Answer 3

Sugerencia . Sea$\alpha$ un número real. Uno puede recordar que, como$u \to 0$, uno tiene $$ \ lim _ {u \ to 0} \ frac {e} {\ alpha u} -1} {u} = \ alpha $$ entonces escribe $$ \ Frac {a ^ xb ^ x} {x} = \ frac {e} {x \ ln a} -1} {x} - \ frac {e} {x \ ln b} -1} {x}. $$