Productos directos y sumas directas para matrices y espacios vectoriales

Question

1. Me preguntaba cuáles son las relaciones y similitudes entre el producto directo para matrices y el producto directo para espacios vectoriales. ¿O es que desafortunadamente y de alguna manera engañosa coinciden en tener el mismo nombre?

   Tenga en cuenta que el producto directo para matrices también se llama producto de Kronecker o producto tensorial de matrices.

2. Me preguntaba si hay algo similar para matrices al igual que el producto directo para espacios vectoriales. La suma directa para matrices parece corresponder a la suma directa para espacios vectoriales, en lugar del producto directo para espacios vectoriales. Así que supongo que la suma directa para matrices no es la respuesta.

3. Gracias a Arturo por su comentario:

   Puedes relacionar las sumas directas de matrices con las sumas directas de espacios vectoriales en el siguiente sentido: si $A$ es una matriz $n×m$ y $B$ es una matriz $p×q$, entonces $AB$ es la matriz diagonal por bloques que tiene el bloque superior izquierdo $A$ y el bloque inferior derecho $B$. Interpretando $A$ como un mapa $F_mF_n$ y $B$ como un mapa $F_qF_p$, entonces $AB$ es el mapa correspondiente $F_mF_qF_nF_p$.

   Dado que la suma directa y el producto directo de espacios vectoriales comparten tanta similitud, ¿por qué es la suma directa en lugar del producto directo de espacios vectoriales a la que corresponde la suma directa de matrices?

¡Gracias!

Answer 1

Hay tres formas estándar de combinar una colección de espacios vectoriales $V_i$, y en toda su generalidad son todas diferentes:

• La suma directa $\bigoplus V_i$. Concretamente, consiste en el subespacio del producto directo generado por la imagen de los $V_i$. Abstractamente, es el coproducto en la categoría de espacios vectoriales.
• El producto directo $\prod V_i. Concretamente, es el producto de teoría de conjuntos. Abstractamente, es el producto en la categoría de espacios vectoriales.
• El producto tensorial $\bigotimes V_i. La descripción concreta parece complicada para un número infinito de factores. Abstractamente, no es ni el coproducto ni el producto: en cambio, es universal con respecto a los mapas multilineales a partir de los $V_i$.

La suma directa y el producto directo coinciden para un número finito de factores, pero difieren en general; el producto tensorial casi nunca coincide con ninguno de ellos.

¿Qué pasa con las matrices? Las propiedades universales de la suma directa y el producto directo pueden escribirse de manera concisa como

$$\text{Hom}(\bigoplus V_i, W) \cong \prod \text{Hom}(V_i, W)$$

y

$$\text{Hom}(W, \prod V_i) \cong \prod \text{Hom}(W, V_i).$$

Se sigue que

$$\text{Hom}(\bigoplus V_i, \prod W_i) \cong \prod \text{Hom}(V_i, W_j).$$

Entonces, dada una colección de mapas $f_{ij} : V_i \to W_j$ obtenemos de manera canónica un mapa $f : \bigoplus V_i \to \prod W_i. Para un número finito de factores, tenemos $\prod W_i \cong \bigoplus W_i$, y por lo tanto, en este caso supongo que se podría llamar a $f$ la "suma directa" de los $f_{ij}$, aunque creo que esto es ligeramente engañoso. Sin embargo, desconozco un término mejor.

Lo que he descrito arriba no es el producto de Kronecker. El producto de Kronecker es una descripción en coordenadas de una forma abstracta de combinar una colección de mapas $f_i : V_i \to W_i$ en un mapa $f : \bigotimes V_i \to \bigotimes W_i$, de la siguiente manera: dado un mapa multilineal $B$ de los $W_i$ a algún espacio vectorial $U$, podemos componer $B$ con cada uno de los $f_i$ para obtener un mapa multilineal de los $V_i$ a $U$, y mediante la propiedad universal obtenemos el mapa deseado $f$.

El producto de Kronecker está definido enteramente en términos del producto tensorial y en particular no hace uso del producto directo, por lo que creo que es bastante engañoso llamarlo el "producto directo".