¿Pueden considerarse campos auxiliares como multiplicadores de Lagrange?

Question

En el BRST formalismo de las teorías gauge, el Lautrup-Nakanishi campo $B^a(x)$ aparece como una variable auxiliar $$\mathcal{L}_\text{BRST}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{a\,\mu\nu}+\frac{1}{2}\xi B^a B^a + B^a\partial_\mu A^{a\,\mu}+\partial_\mu\bar\eta^a(D^\mu\eta)^a,$$ y en el superfield formalismo de SUSY, el campo de $F(x)$ también aparece como una variable auxiliar: $$\mathcal{L}_\text{SUSY}=\partial_\mu \phi\partial^\mu\phi+i\bar\psi^\dagger\bar\sigma^\mu\partial_\mu\psi+F^*F+\ldots\,.$$

Es muy tentador ver $B^a(x)$ $F$ como multiplicadores de Lagrange, ya que sus ecuaciones de movimiento conduce a restricciones. Pero estas variables no entrar en el Lagrangiano de forma lineal, como una convencional multiplicador de Lagrange. Más bien, entrar en el Lagrangiano de cuadráticamente.

Sin embargo, en Kugo y Ojima del papel Manifiestamente Covariante Formulación Canónica de la de Yang-Mills Campo Theores (1978), se refieren a la $B^a(x)$ campos como el "Multiplicador de Lagrange' campos (p.1882).

Así que mi pregunta es: Puede que estos auxiliares campos de verse como multiplicadores de Lagrange? y en qué formas se comportan de manera diferente/similar a la convencional multiplicadores de Lagrange que entrar en la función lineal?

Answer 1

Por definición, los multiplicadores de Lagrange son sólo los coeficientes que entrar en el extremized cantidad (acción) etc. de manera lineal y que se multiplican las restricciones. En algunos casos excepcionales, un campo auxiliar podría entrar en este modo. Sin embargo, por lo general aparecen en un más complicado y bilineal términos como auxiliar de campos son la regla más que la excepción. Así que, estrictamente hablando, no son multiplicadores de Lagrange. Pero son muy similares. Si no derivados de estos objetos aparecen en la acción, sino que también son "no-dinámico" (que no impliquen el tiempo de derivados), y la variación con respecto a ellos, implica que "no-dinámico", es decir, algebraica de las ecuaciones de movimiento.

Tenga en cuenta que en el tratamiento normal de extremization, introducimos los multiplicadores de Lagrange, porque queremos extremize la cantidad dado el supuesto de que otra cantidad o de otras cantidades se mantienen fijos. "Mantuvo fija" se traduce como "la ley de la conservación" en la física de la jerga. Sin embargo, en la física, raramente consideramos conservado cantidades que se conservan debido a la ley de la conservación está explícitamente escrito como independiente de la restricción. En cambio, en la física solemos descubrir las leyes de conservación trivial – la conserva de la cantidad tiene que ser determinado por algo no trivial procedimiento debido a Emmy Noether de una simetría. En casi todas las teorías físicas, leyes de conservación no son desdeñables las consecuencias de algunos otros, "más elementales" ecuaciones de la física.

Answer 2

1) OP escribe (v1):

Puede auxiliar campos considerarse como multiplicadores de Lagrange?

No, no necesariamente. Auxiliar de campos por lo general significa no-propagación de los campos, y pueden existir otras que no-propagación de los campos, por ejemplo, fantasma campos y antighost campos. En el caso de los llamados reducible medidor de simetrías, también se tiene por ejemplo, los fantasmas-para-fantasma campos. Por otra parte, si uno trabaja en el formalismo de Hamilton, uno tiene la no-reproducción de impulso campos para todos los mencionados auxiliares campos. De hecho, la antítesis de la declaración es verdadera: multiplicadores de Lagrange son ejemplos de auxiliar de campos.

2) hablando Estrictamente de acuerdo a la definición original, es cierto que los multiplicadores de Lagrange $\lambda^a$ debe entrar linealmente (en contraposición a, por ejemplo, cuadráticamente) en la acción,

$$S~=~\int \!d^4x ~{\cal L}, \qquad {\cal L}~=~ \ldots + \lambda^a \chi_a+ \ldots,$$

donde $\chi_a\approx 0$ son las condiciones que nos imponen a través del multiplicador de Lagrange método.

En Lagrange calibre teorías, las condiciones de $\chi_a$ suelen ser el indicador de las condiciones de fijación, y resulta que cuando se tratan de forma consistente$^1$, el gauge invariantes físicos observables de no depender de la elección del calibre de las condiciones de fijación de $\chi_a$.

Esta independencia del calibre de las condiciones de fijación de $\chi_a$ se extiende a situaciones en las que el calibre de las condiciones de fijación de $\chi_a$ sí dependen linealmente por ejemplo, en el auxiliar de $\lambda$ campos, de manera que la acción depende cuadráticamente de la $\lambda$'s.

Muchos aspectos de una teoría de gauge pueden ser discutidos antes de elegir particular, el indicador de las condiciones de fijación, y en la práctica de la auxiliar de $\lambda$ campos se conocen como multiplicadores de Lagrange de todos modos, sea o no el calibre de las condiciones de fijación de $\chi_a$ dependen de los $\lambda^a$. Véase también por ejemplo, este Phys.SE la respuesta.

Por ejemplo, el calibre fijo de Yang-Mills acción que OP menciona(v1) puede justamente ser visto como una situación en la que el calibre de las condiciones de fijación de $\chi_a$ sí dependen linealmente de la Lautrup-Nakanishi campos de $\lambda$.

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$^1$ Nota de que el Faddeev-Popov determinantal plazo también depende del calibre del grado de fijación $\chi_a$. Para el general de las teorías gauge, un trato uniforme dado por la Batalin-Vilkovisky (BV) la receta, cf. por ejemplo, este Phys.SE la respuesta.