Resumen Von Neumann Álgebras

Question

Acabo de leer esta pregunta Es un álgebra de von Neumann en una C*-álgebra generada por sus proyecciones? y me pregunto acerca de Robert Israel respuesta cuando dice que una subalgebra de $C(X)$ no es un álgebra de Von Neumann. Algunos definición abstracta debe ser utilizado, pero también dice débiles de cierre (por que supongo que quiere decir débil operador de cierre) y que sólo existe en $B(H)$. Cuando alguien dice que un C* álgebra $A$ es un álgebra de Von Neumann, él está diciendo: que $A$ es *-isomorfo (es decir, un bijective mapa de la preservación de las 3 operaciones algebraicas, es una isometría, y conserva ) a un (hormigón), Von Neumann álgebra? ( Subalgebra de $B(H)$ igual a su bicommutant) Que no parece ser lo que la gente podría decir, desde un isomorfismo diría nada acerca de cómo $A$ se encuentra dentro de $B(H)$ topológicamente. Por otro lado, $A$ no sabe mentir en algún espacio exterior, de modo que no se espera una gran isomorfismo que pasa a asumir $A$ a un álgebra de von Neumann, y el más grande es el espacio que contiene a$A$$B(H)$. Soy igualmente confundido acerca de lo "débil topología".

También he oído hablar de un predual caracterización de álgebras de Von Neumann, aunque nunca he escuchado a la equivalencia de esta noción de la mina y la declaró formalmente ni probado. Si eso es lo que está pasando aquí, podría por favor alguien me dirija a una descripción suficientemente precisa de lo que significa cada cosa?

Answer 1

En un sentido tiene que distinguir entre abstracto y concreto álgebra de von Neumann. Pero, como con el C$^*$-álgebras, ya que siempre se puede representar como el hormigón, la distinción no es importante.

Pero es cierto que una de von Neumann álgebra puede ser representada en un espacio de Hilbert de tal manera que no es igual a su doble commutant. Por ejemplo llevas un II$_1$ factor y considerar una representación irreducible: su imagen va a ser denso en algunos (no trivial) $B(K)$ pero, por supuesto, no puede ser el todo. Es difícil imaginar que estas representaciones son de alguna utilidad, por lo que siempre representan su vN álgebra de una manera que mejor se adapte a ti.

Así que la verdadera pregunta es si se puede decir intrínsecamente si un C$^*$-álgebra es (o, mejor dicho, puede ser representado como) un álgebra de von Neumann. Esto es lo que iba a decir es una definición abstracta de un álgebra de von Neumann.

Sakai de la caracterización es en un sentido muy abstracto. Porque es explícitamente cuál es el predual debe ser: la normal funcionales. Así que un C$^*$-álgebra a es isomorfo a un hormigón de von Neumann álgebra, precisamente, cuando el normal funcionales puntos separados.

Cuando la gente dice "topología débil" en el contexto de álgebras de von Neumann que se suele hacer referencia a la topología inducida por la normal funcionales, que es la debilidad de$^*$ topología cuando el álgebra es visto como el doble de la normal funcionales. En concreto, von Neumann álgebra, esto es la ultraweak topología; está de acuerdo con la débil operador de la topología de conjuntos acotados.