Sólo nos valientemente intente$^*$ a un sustituto $y=e^{rx}$ en
$$a_n y^{(n)} + ... + a_1 y' + a_0 y = 0. $$
Llegamos entonces
$$a_n r^ne^{rx} + ... + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = 0.\tag 1$$
Si sustituimos $x=0$ (o si dividimos ambos lados por $e^{rx}>0$) a continuación, llegamos a la famosa ecuación característica:
$$a_n r^n + ... + a_1 r + a_0 = 0.$$
Ahora nos damos cuenta que después de haber resuelto esta ecuación característica en $r$ y de haber sustituido las soluciones en $(1)$ $r$ entonces tenemos una serie de soluciones de la ecuación diferencial.
Por qué?
Imagínese que $r_i$ es una solución de la ecuación característica y lo sustituimos por $r$$(1)$. Ahora, tenemos
$$a_n r_i^ne^{r_ix} + ... + a_1 r_ie^{r_ix} + a_0 e^{r_ix}=0 $$
desde $e^{r_ix}>0$ todos los $x$ podemos dividir ambos lados de esta ecuación por $e^{r_ix}$. A continuación, hacemos llegar a cero porque justamente $r_i$ es una solución. Y , por supuesto, este es el caso para todos los $i$.
Tenga en cuenta que aún no hemos determinado todas las soluciones. El resultado de nuestro valiente acción es sólo un conjunto de soluciones.
$^*$ Ver el comentario al OP por Martín-Blas Pérez Pinilla.
Editado porque la última pregunta quedó sin respuesta
Me he dado cuenta de que el OP le hizo la siguiente pregunta al final de su post:
"¿Por qué hacemos la sustitución de un producto? [$e^rx$] Sospecho que no puede representar cualquier función como $e^x$. Además se dice que $\forall z \ e^z\not =0$ (puede que me apunte a una prueba demasiado), así que si $\exists \ x_0 : y(x_0)=0$, entonces no podemos representar este valor en esta sustitución."
- De courese no podemos representar cualquier función como $e^x$. (Para ser honesto, no entiendo esta frase.)
- ¿Por qué es cierto que $\forall z :\ e^z\not =0$? El caso más general es al $z=a+ib$, un número complejo. A continuación, $e^z=e^{a+ib}=e^ae^{ib}.$ Aquí $a$ es real lo $e^a$ nunca es cero. La pregunta reamins: hay una verdadera $b$ que $e^{ib}=0$? Que es imposible porque el valor absoluto de a $e^{ib}$ $1$ independientemente del argumento de $b$.
- Incluso si $\exists \ x_0 : y(x_0)=0$ funciones $y$ que se puede representar por medio de un homogenuous ecuación diferencial lineal. Recuerde, las combinaciones lineales de las soluciones de tales ecuaciones diferenciales son soluciones. Vamos a ver un ejemplo.
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
$$y''+y'-2y=0.$$
La ecuación característica es $r^2+r-2=0$ cuyas soluciones son: $r_1=-2$$r_2=1$. Es decir, $y_1(x)=e^{-2x}$ $y_2(x)=e^x$ son sin duda las soluciones. Pero las combinaciones lineales son también soluciones! Así
$$y(x)=e^{-2x}-e^x$$
es una solución de nuevo. Sustituyendo $0$ $x$ tenemos que $y(0)=0$ al $y$ es una solución.
Por lo tanto, incluso si no podemos describir todos los tipos de funciones como las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales, la existencia de una $x_0$ que $y(x_0)=0$ no es un obstáculo.
