Secuencia de números naturales

Question

Números $1,2,...,n$ se escriben en secuencia. Se permite intercambiar dos elementos cualesquiera. ¿Es posible volver a la posición inicial después de un número impar de movimientos?

Sé que es necesariamente un número par de movimientos, ¡pero no me lo explico!

Answer 1

Pista: Definir un inversión de una secuencia $(a_1,\dots,a_n)$ en pareja $(i,j)$ tal que $i<j$ y $a_i>a_j$ . Consulte que cada movimiento cambia la paridad del número de inversiones.

Answer 2

Básicamente, si haces un número impar de interruptores, entonces al menos uno de los números sólo se ha movido una vez (a menos que repitas el mismo interruptor una y otra vez, lo cual es un caso fácil de explicar). Pero si empiezas en alguna configuración y mueves un número sólo una vez y quieres volver al principio, debes moverte de nuevo.

Prueba la inducción -- un caso base fácil es $n=2$ .