¿($C([0,1]), \left\|\cdot\right\|_2)$) Tiene un subespacio que es isomorfo a ($L^2([0,1]), \left\|\cdot\right\|_2)$)?
Creo que la respuesta no es pero no tengo ni idea para probarlo.
Respuesta
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Como se sospecha, esto no es posible. Supongamos que tenemos un subespacio $H\subseteq C[0,1]$ que es cerrado en $L^2$. A continuación, el mapa de identidad $(H,\|\cdot\|_{\infty})\to (H,\|\cdot\|_2)$ es un continuo bijection. Por otra parte, $(H,\|\cdot\|_{\infty})$ es un subespacio cerrado de $C[0,1]$ con la misma norma, porque si $f_n\in H$, $f\in C$, $\|f_n-f\|_{\infty}\to 0$, luego también tenemos la convergencia en $L^2$ norma, por lo $f\in H$ desde $H$ con esta norma fue cerrado por supuesto. Por lo tanto la asignación abierta teorema muestra que las dos normas son equivalentes en $H$.
Ahora tome un ONB $f_n$$H$. Ya que, como hemos visto, $\sup_n\max |f_n|<\infty$, podemos encontrar una $\delta>0$, de modo que los conjuntos $$ A_n =\{ x: |f_n(x)|\ge 1/2 \} . $$ tienen medida $|A_n|\ge\delta$. Esto significa que, dada $N/\delta$ estos conjuntos, habrá un punto de $x$ que está contenida en al menos $N$ de ellos.
Esto significa que siempre podemos hacer $$ \left\| \sum_{n=1}^{N/\delta} e^{i\alpha_n} f_n \right\|_{\infty} \ge N/2 $$ mediante la elección adecuada de las fases de $\alpha_n$. Sin embargo, el $L^2$ norma de esta función sólo es $\sqrt{N/\delta}$. De ello se desprende que $H$ no puede ser infinito-dimensional.
Comentario: El hecho de que $[0,1]$ es compacto, es crucial aquí. En la línea real (o $(0,1)$), podemos fácilmente encontrar subespacios: el Paley-Wiener espacio.
