No entender un ejercicio de teoría de grupos

Question

Aquí está el ejercicio:

Deje $G$ ser un grupo y $x,y \in G\setminus \{1\}$. Deje $R$ ser cualquier rectángulo en el cuerpo de la tabla de multiplicación de $G$ tener $1$ como uno de sus vértices, $x$ un vértice en la misma fila $1$, e $y$ como un vértice en la misma columna como $1$. Demostrar que el cuarto vértice de $R$ sólo depende de $x$ $y$ y no en la posición de $1$.

No entiendo lo que me piden hacer. ¿Qué es lo que entendemos por "depende de $x$$y$"? ¿Qué tipo de dependencia son ellos (probablemente) hablando? Lo mismo para $1$; lo que significa decir que el cuarto vértice no dependen de la posición de $1$?

Answer 1

Cuando dicen "depende de $x$$y$", está pensado para mostrar que el valor de el cuarto vértice es una función de $x$$y$. En general, hay un montón de $1$'s en la tabla de multiplicación, y el objetivo es mostrar que, si el rectángulo tiene las mencionadas propiedades, entonces el valor del cuarto vértice no depende de la $1$ elegir, o que $x$ $y$ elegir en la tabla de multiplicación. En otras palabras, no importa la forma de elegir los vértices del rectángulo, sólo en los valores de $x$$y$.

En efecto, suponga que los vértices se $(a,b), (c,b), (a,d), (c,d)$, de tal manera que $ab=1, ad=x, cb=y$. A continuación,$cd = c\cdot 1\cdot d = c\cdot (ba)\cdot d = (cb)(ad) = yx$, que sólo depende de los $x$$y$, y no en cómo los vértices son los elegidos.

Answer 2

La declaración puede reformularse como sigue

Que $G$ sea un grupo con $a,b\in G$;

• Supongamos que $ab=1$
• considerar $d$ lo que $ad=x$
• considerar $c$ lo que $cb=y$

Calcular $cd$

Answer 3

Bueno, es posible que al hacer esto, usted encontrará que la última entrada en el rectángulo es siempre igual a $x^2$. Que "sólo depende de $x$$y$." Creo que una mejor manera de expresar esto sería "Puede expresarse en términos de sólo $x, y, 1,$ y el grupo de operaciones".

También hay el problema de que el "1" que aparece en cada fila y columna de la tabla de multiplicación, por lo que decir "$x$ un vértice en la misma fila $1$"

no restringir $x$ a todos. Lo que es casi seguro que quiere decir es esto:

Deje $R$ ser cualquier rectángulo en el cuerpo de la tabla de multiplicación de $G$--- los que nos representan como una matriz $A = (a_{ij})$ con las entradas en $G$--- con $1$ como uno de sus vértices, decir $a_{pq}$, e $x$ otra entrada en la fila $p$, $y$ otra entrada en columnn $q$, e $z$ la cuarta esquina del rectángulo. Express $z$ en términos de $x, y, 1$ y el grupo de operaciones.

Answer 4

Bueno, hay varias posibilidades:

1 . . . . x     x . . . . 1
. . . . . .     . . . . . .
y . . . . z     z . . . . y

etc.. Creo que la pregunta es simplemente pidiéndole que $z$ tiene el mismo valor en todos los casos.