¿Puede solucionar teoría de Sturm-Liouville en realidad odas?

Question

Mi maestra habló acerca de Sturm-Liouville teoría, y nos enteramos de que cualquier segundo orden de la ecuación diferencial se puede poner en el uno mismo-adjoint forma. ¿Qué es esto? Bueno, el libro dice que es algo en la forma:

$$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{du(x)}{dx}\right] + q(x)u(x) \tag {1}$$

El libro también dice que podemos poner de segundo orden lineal de la educación a distancia en el uno mismo-adjoint forma:

Considere la posibilidad de segundo orden lineal de la educación a distancia:

$$Lu(x) = p_0\frac{d^2}{dx^2}u(x) + p_1(x)\frac{d}{dx}u(x) + p_2(x)u(x)$$

Multiplicar por:

$$\frac{1}{p_0(x)}\exp\left[\int^x\frac{p_1(t)}{p_0(t)}\ dt\right]$$

para obtener:

$$\frac{1}{p_0(x)}\exp\left[\int^x\frac{p_1(t)}{p_0(t)}\ dt\right]Lu(x) = \frac{d}{dx}\left\{\exp\left[\int^x\frac{p_1(t)}{p_0(t)}\ dt\right]\frac{du(x)}{dx}\right\} + \frac{p_2(x)}{p_0(x)}\cdot \exp\left[\int^x\frac{p_1(t)}{p_0(t)} \ dt\right]u$$

Que es en sí mismo-adjoint forma, lo que sea que eso significa. Podemos ver comparando con eq $(1)$ y teniendo en $p(x) = \exp\left[\int^x\frac{p_1(t)}{p_0(t)}\ dt\right]$$q(x) = \frac{p_2(x)}{p_0(x)}\cdot \exp\left[\int^x\frac{p_1(t)}{p_0(t)} \ dt\right]$.

A continuación, el libro, y también mi maestro, dice que estamos interesados en la búsqueda de funciones propias y valores propios para:

$$\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{du(x)}{dx}\right] + q(x)u(x) + \lambda w(x) u(x) = \\ Lu(x) + \lambda w(x) u(x) $$

por alguna función de densidad de $w(x)$ (lo), donde $\lambda$ es un autovalor relacionados con la eigenfunction $u(x)$, llamados en el libro de $u_{\lambda}$, porque depende de la $\lambda$.

El libro y mi maestro, a continuación, hablar de la integridad de los valores propios y funciones propias, y eso es todo. No se dice nada más acerca de Sturm-Liouville teoría, luego nos subimos a otras cosas y me estoy preguntando por qué todo esto es utilizado.

También menciona las condiciones de contorno. ¿Cuáles son las condiciones de contorno? Son simplemente las condiciones iniciales para algunos la educación a distancia? Debido a que las condiciones de frontera dadas en el libro son de la forma

$$a_1 u(a) + a_2 u'(a) = 0\\ b_1 u(a) + b_2 u'(a) = 0$$

pero no son las condiciones iniciales de las cosas en la forma $u'(a) = b, u''(a) = c$?

Cuando me vea ejemplos en la wikipedia, que toda mención que ya sabemos que tales eigenfunction $u(x)$ es una solución con autovalor $\lambda$, y también en estas diapositivas veo que no hay ejemplos de cómo encontrar el autovalor y eigenfunction...

Así que ¿cuál es la utilidad de la auto-adjunto de la fórmula y del sturm-liouville teoría en general?

Answer 1

Aquí hay dos razones por las que Sturm-Liouville teoría es útil:

La física de la razón: me di cuenta de que has etiquetado a esta pregunta con un "física". Casi todos los problemas de la física cuántica es una Sturm-Liouville eigenfunction problema: a saber, la solución de la ecuación de Schrödinger!

Por ejemplo:

• Tome el infinito de la plaza. Aquí, Schrödinger ecuación es de la forma $ \mathcal L u + \lambda u = 0$ donde $\mathcal L = \frac {d^2}{dx^2}$ (hasta un factor constante). Las condiciones de frontera,$u(0) = u(\pi) = 0$. Esta es una Sturm-Liouville eigenfunction problema. Las funciones propias $u_n = \sin(n x)$ son los wavefunctions de los diversos estados, y los autovalores $\lambda_n = n^2$ son sus energías. (Los valores permitidos de $n$$n = 1,2,3,\dots$)

• Para el oscilador armónico simple, la ecuación de Schrödinger se puede convertir a la ecuación de Hermite, que lo es también de Sturm-Liouville forma. Las funciones propias y valores propios son (estrechamente relacionado con a) la wavefunctions y la energía del oscilador armónico simple de los estados. (Este es un ejemplo de un "singular" Sturm-Liouville sistema, ya que el dominio se extiende hasta el infinito.)

• Al resolver la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno por separación de variables, la ecuación radial puede convertirse en asociados de Laguerre de la ecuación, que es otro (en singular) de Sturm-Liouville sistema de...

Sturm-Liouville teoría nos dice (con ciertas salvedades relativas a la dimensionalidad, infinito dominios y singularidades, y con matices dependiendo de cuán estrechamente relacionados con el Sturm-Liouville problema es el original de Schrödinger problema) que:

• Hay una secuencia discreta de los niveles de energía, marcados por un número cuántico $n$. Esta distinción es la razón por la física cuántica se llama "quantum". Los valores de energía de los estados forman una secuencia ascendente $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3 \leq \dots$, lo que tiende a infinito. Así, en particular, hay una bien definida la notación de un "estado fundamental" de un mínimo de energía: esta es la $n = 1$ estatal.

• El wavefunctions de dos niveles de energía con distintos valores de energía son ortogonales. Esta es una sencilla consecuencia de la auto-adjointness propiedad del operador Hamiltoniano. Si queremos cambiar la escala de la wavefunctions (y elija bases cuidadosamente si ciertos niveles de energía son degenerados), entonces podemos hacer la wavefunctions ortonormales: es decir $\int u_{n_1} u_{n_2} = \delta_{n_1, n_2}$.

• Cualquier general de la función de onda $u$ se puede escribir como una combinación lineal $ u = \sum_n c_n u_{n} $ de la energía pura de nivel wavefunctions $u_{n}$. Esta es la "integridad" declaración de Sturm-Liouville teoría. En lenguaje de la física, el estado de $u$ es entonces una "superposición" de la pura energía a nivel de los estados.

Por otra parte, es fácil determinar los coeficientes $c_n$ en la descomposición lineal $ u = \sum_n c_n u_{n} $. Ya tenemos una relación de ortogonalidad $\int u_{n_1} u_{n_2} = \delta_{n_1 , n_2}$, $c_n$ coeficiente es simplemente $c_n = \int u_{n} u$.

Matemáticas razón: Supongamos que se desea resolver una ecuación de la forma $$ \mathcal L u = f,$$ donde $\mathcal L$ es un de segundo orden diferencial operador de Sturm-Liouville tipo, y $f$ es alguna función determinada. (Por ejemplo, esto podría ser un sistema dinámico, donde $f$ representa un obligando a término).

Una estrategia común para resolver una ecuación de esta forma es empezar por encontrar un conjunto de autovalores $\lambda_n$ y funciones propias $u_n$ que satisface la ecuación, $$ \mathcal L u_n + \lambda_n w u_n = 0,$$ Tienes razón en decir que Sturm-Liouville teoría de la realidad no ayuda a encontrar estos valores propios y funciones propias. Generalmente, las personas determinan el uso de otros métodos, tales como la alimentación de la serie. [Muchas de estas soluciones de la serie de Sturm-Liouville eigenfunction problemas son bien conocidos - tal vez usted puede leer sobre polinomios de Legendre, Hermite polinomios, polinomios de Laguerre, polinomios de Chebyshev, y así sucesivamente.]

Pero una vez que hemos encontrado el $\lambda_n$'s y $u_n$ la satisfacción de las eigenfunction ecuación, podemos utilizar estos valores propios y funciones propias, junto con los resultados de Sturm-Liouville teoría, para construir soluciones a la ecuación original $\mathcal L u = f$. Aquí está cómo hacerlo:

En primer lugar, Sturm-Liouville teoría nos dice que el $u_n$'s están completas. Así que podemos escribir la solución de $u$ de nuestra ecuación original como una combinación lineal de las $u_n$'s: $$ u = \sum_n c_n u_n.$$

Si ahora sustituimos este ansatz en la ecuación de $\mathcal L u = f$, obtenemos $$- \sum_n c_n \lambda_n w u_n = f$$

Sturm-Liouville teoría también nos dice que el $u_n$'s son ortonormales (después de reescalado): $$\int w u_{n_1} u_{n_2} = \delta_{n_1, n_2}.$$ [Por un estándar de integración por partes argumento, este orthonormality propiedad se deduce del hecho de que un operador diferencial de la forma $\mathcal L = \frac d {dx} p \frac d {dx} + q$ es auto-adjunto.]

Así que si multiplicamos ambos lados por $u_k $ e integrar, obtenemos $$ c_k = - \tfrac 1 {\lambda_k}\int f u_k .$$

Ahora hemos resuelto la ecuación! La respuesta es $$ u = \sum_n \left( - \tfrac 1 {\lambda_n}\int f u_n \right) u_n.$$ [Si te gusta, usted puede pensar de $\sum_n \tfrac 1 {\lambda_n }u_n(x')u_n(x)$ como el de la función de Green para el operador $\mathcal L$.]

Para resumir, Sturm-Liouville teoría no nos dice cómo encontrar las funciones propias y valores propios que satisfacer $\mathcal L u + \lambda w u = 0$; esto se hace generalmente usando el poder de la serie de métodos. En su lugar, Sturm-Liouville la teoría nos dice que la información acerca de estas funciones propias y valores propios que nos permiten utilizarlos como bloques de construcción para la construcción de soluciones para los problemas generales de la forma $\mathcal L u = f$.

[Esta técnica puede ser generalizada para las ecuaciones de la forma $ \mathcal L u + \mu w u = f,$ donde $\mu$ es un número constante. Como a lo largo como $\mu$ no es igual a ninguno $\lambda_n$, se puede utilizar el mismo método que la solución es $ u = \sum_n \left( \tfrac 1 {\mu - \lambda_n}\int f u_n \right) u_n.$ Desde Sturm-Liouville teoría nos dice que el $\lambda_n$'s forman un conjunto discreto (más específicamente, un positivo, estrictamente creciente de la secuencia), se deduce que este método de solución es válida para "casi" toda elección de $\mu$.]

Answer 2

Sturm-Liouville Teoría salió de estudio de la transformada de Fourier de la Separación de las Variables de la técnica para la solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales, y que todavía una importante aplicación. En este contexto, la resolución de la educación a distancia no es el objetivo final, sino que proporciona una forma de resolver un más complicada ecuación. Como un ejemplo, suponga $A$ es un selfadjoint de la matriz, y quiere resolver una ecuación vectorial $$ \frac{d x}{dt} = A x,\;\;\; x(0)=x_0. $$ Este problema puede ser reducido mediante la búsqueda de una base ortonormales $\{ e_1,e_2,\cdots,e_n \}$ de los vectores propios de a $A$ con autovalores $\lambda_1,\lambda_2,\cdots\lambda_n$ porque entonces usted puede escribir $$ x(t) = \alpha_1(t)e_1 + \cdots + \alpha_n(t)e_n $$ donde $\alpha_k(t)$ son funciones escalares de $t$, y enchufe de nuevo en la ecuación para obtener la $$ \sum_{k=1}^{n} \alpha_k'(t)e_k = \sum_{k=1}^{n} \lambda_k \alpha_k(t)e_k \\ \implica \alpha_k(t) = \alpha_k(0)e^{\lambda_k t}. $$ A continuación puede encontrar $\alpha_k(0)$ saber que $x(0)=x_0$: $$ x_0 = x(0) = \sum_{k=0}^{n}\alpha_k(0)e_k \\ \implica \langle x_0,e_l\rangle = \alpha_l(0) \\ x(t) = \sum_{k=1}^{n}e^{\lambda_k t}\langle x_0,e_k\rangle e_k $$ Esta es una solución completa del problema.

Separación de variables funciona básicamente de la misma manera para las ecuaciones diferenciales parciales, pero en una escala más grande. Aquí Sturm-Liouville los operadores deben ser diagonalized, que requiere un infinito espacio tridimensional, y una infinita ortogonal. Los operadores son selafadjoint, y así existe una gran similitud entre estos casos y la matriz caso de los mencionados anteriormente. Por ejemplo, la ecuación de onda para un delgado alambre uniforme que se extiende entre dos puntos fijos y arrebató a un desplazamiento inicial, $u_0(x)$ inicialmente en reposo y luego se libera a $t=0$ es una ecuación diferencial parcial de la incógnita desplazamiento $u(t,x)$ de la cadena rige por $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\\ u(t,0)=u(t,L)=0, \\ u(0,x)=f(x), \\ u_{t}(0,x)=0. $$ En este caso se trabaja con un operador $A f = -\frac{\partial^2}{\partial x^2}f$ sobre el dominio de dos funciones diferenciables $f$ que $f(0)=f(L)=0$. Este operador también tiene una base ortonormales de funciones propias, así como un selfadjoint de la matriz: $$ e_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(n\pi x/L). $$ El operador tiene los autovalores $\lambda_n = n^2\pi^2/L^2$ y $$ Le_n = \lambda_n e_n. $$ Mediante la expansión de $u(t,x)$ en estas funciones, el $x$ variable se elimina, y se termina con una variable en el tiempo la ecuación vectorial donde los vectores son funciones de la $x$ en el espacio vectorial $L^2[0,L]$. $$ u(t) = \sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n(t)e_n $$ Los coeficientes $\alpha_n(t)$ son escalares coeficiente de funciones que debe satisfacer $$ \alpha_n"(t) = c \alpha_n(t),\;\;\; \alpha_n(0) = \langle f,e_n\rangle,\;\; \alpha_n'(0)=0. $$ El coeficiente de la función soluciones son $$ \alpha_n(t) = \langle f,e_n\rangle\cos(\sqrt{c}n\pi t/L), $$ lo que conduce a la solución de la PDE $$ u(t,x) = \sum_{n=1}^{\infty}\langle f,e_n\rangle \cos(\sqrt{c}n\pi t/L)e_n(x) \\ = \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x')\sin(n\pi x'/L)dx'\right]\cos(\sqrt{c}n\pi t/L)\sin(n\pi x/L) $$ Esta solución es una descomposición de la vibración de discplacement en términos de los "modos naturales" de la cadena, que son armónicas múltiplos de una tierra fija del estado de la frecuencia, que es como el campo llegó a ser conocido como Análisis de Armónicos.

Por lo que el objetivo no es tanto cómo resolver el Sturm-Liouville problema, pero cómo utilizar el "diagonalización" de Sturm-Liouville problema en términos de sus funciones propias para reducir la ecuación diferencial parcial de los problemas de educación a distancia de los problemas para los coeficientes en eigenfunction expansiones de la solución a lo largo de la base de que diagonalizes una Sturm-Liouville operador.