Krein Smulian contraejemplo para los débiles (no *) topología.

Question

El Krein-Smulian Teorema afirma que para que un conjunto convexo S, habiendo débil*-cerrado intersecciones con el cierre de bolas implica ser débil*-cerrado.

Yo sería muy feliz de tener un ejemplo de un NO-débil cerrado convexo subconjunto $S$ de un espacio de Banach, de tal manera que la intersección con el cerrado bolas son siempre débiles-cerrado.

En este post, hay algunos contraejemplos para la "convexo" hipótesis". Me gustaría tener contraejemplos para los "débiles*" hipótesis".

Answer 1

Esto es cierto para la topología débil también y es fácil de probar.

Prueba. Por Mazur el lexema (o el de Hahn-Banach teorema), para un subconjunto convexo de $X$ a ser cerrado es el mismo como para ser débilmente cerrado por lo que es suficiente para mostrar que el $S$ es cerrado.

Supongamos que $S\subset X$ es convexo y $S\cap B$ (débilmente) cerrado para cada cerrado balón $B$$X$. Deje $(x_n)_{n=1}^\infty$ ser una secuencia en $S$ que converge a algunos $x\in X$. A continuación, $(x_n)_{n=1}^\infty$ es acotado, por lo que se encuentra contenida en algún balón $B$. Sin embargo $S\cap B$ es cerrado, por lo $x\in S\cap B$. En consecuencia, $S$ (débilmente) cerrado. $\square$