Aproximaciones en órbitas elípticas

Question

Estoy aprendiendo acerca de las órbitas y estar muy confundido en cuanto a qué es exactamente verdadero y lo que es una aproximación.

A saber, los siguientes puntos:

• Se dice a menudo que el planeta tiene una órbita elíptica con el sol en un foco. Creo que esta es una aproximación en el supuesto de que la masa del sol es mucho mayor que la del planeta que su movimiento es insignificante en comparación con el planeta, pero en realidad ambos tienen una órbita elíptica alrededor de su centro común de masa (como en este post SE).

Pero la derivación que hemos utilizado en nuestras clases de la elíptica de movimiento de un planeta alrededor del sol, y no tanto para los cuerpos alrededor de un centro común de masa. Las otras derivaciones he visto también muestran esta órbita alrededor del sol. Las derivaciones inicialmente asumir el sol como centro, y utilizar el potencial gravitacional alrededor del sol. Supongo que la aproximación viene porque, si se supone que el sol en un foco, entonces la energía cinética no es simplemente $0.5mv^2$ debido a que el sol es en realidad un no inercial de referencia. Es esto correcto?

Por último, es el momento angular de realidad conservada si se coloca el sol en un nuevo enfoque? ¿Por qué/por qué no? Momento lineal es claramente que no se conserva. Si consideramos el conjunto del sistema (el planeta y el sol). Así que es momento lineal conserva?

Answer 1

Ignorando que la derivación supone un dos cuerpo a cuerpo problema y Newtoniana de la gravedad, no hay ninguna aproximación aquí. Con estas premisas, un obligado de la órbita de un cuerpo sobre otro es una elipse, con el cuerpo visto como fijo, y la carrocería fija siendo uno de los focos de la elipse.

Este es, por supuesto, un no-inercial perspectiva. La carrocería fija está acelerando hacia la órbita del cuerpo. Desde la perspectiva de un sistema inercial en el que el centro de masa se fija en lugar de uno de los cuerpos, ambos cuerpos se encuentran en órbitas elípticas alrededor del centro de masas, con el centro de masa está el enfoque común de las dos elipses.

Para demostrar que estos son de hecho equivalentes, supongamos que sabemos que el objeto B está orbitando alrededor del centro de masa de un cuerpo del sistema en una elipse, con el centro de masa en uno de los dos focos de la elipse. Esto significa que las coordenadas polares de objeto B con el origen en el centro de masa es $$\vec r_B = \frac {a_B (1-e^2)}{1+e \cos\theta} \,\,\hat r$$ donde $a_B$ es el semi-eje mayor de la longitud de la órbita, $e$ es la excentricidad de la órbita, y $\theta$ es el ángulo en el plano de la órbita subtendido por B's enfoque más cercano a la centro de masa el centro de masa, y el objeto B en sí.

¿Y el otro objeto? La posición de este centro de masa del sistema está limitada por $m_A \vec r_A = -m_B \vec r_B$. De esta manera también se mueve en una elipse con el centro de masa como uno de los focos: $$\vec r_A = \frac {a_A (1-e^2)}{1+e \cos\theta}(-\hat r)$$ where $a_A = \frac{m_B}{m_A} a_B$.

Finalmente, ¿qué tal el vector desplazamiento entre los dos? Este es $$\vec r_B - \vec r_A = \left(1 + \frac {m_B}{m_A}\right) \frac {a_B(1-e^2)}{1+e\cos\theta} \,\, \hat r \equiv \frac {a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}\,\,\hat r$$ where $un \equiv \frac{m_A+m_B}{m_A}a_B = \frac{m_A+m_B}{m_B}a_A$.

Este es, por supuesto, otra elipse. Puede ser visto de dos maneras diferentes: Desde la perspectiva del objeto $B$ gira alrededor de un objeto fijo $A$, en cuyo caso el objeto $A$ está en uno de los focos de esta elipse, o desde la perspectiva del objeto $A$ gira alrededor de un objeto fijo $B$, en cuyo caso el objeto $B$ está en uno de los focos de esta elipse.

Answer 2

En primer lugar, el hecho de que el planeta tiene una órbita elíptica con el sol en uno de los focos se pueden derivar de ninguna aproximación. Esto está muy bien explicado en David Hammen la respuesta. El marco de referencia que corresponde a este punto de vista es no inercial.

En el capítulo 8 de Marion toda la dinámica se derivan siempre desde el centro de masa del marco. Como usted ya sabe, el problema de dos cuerpos pueden ser resueltos analíticamente, y esto se puede hacer mediante la colocación de nuestro sistema inercial en el centro de la masa y de trabajo con la reducción de la masa $\mu$.

Una aproximación que se hace a veces es la siguiente: así como el sol es generalmente mucho más grandes que el planeta, usted puede tomar la aproximación de ubicar el centro de masa de todo el sistema en el centro del sol. Como la masa del sol $m_S$ es mucho más grande que el planeta de masa $m_P$ ($m_S >> m_P$), también puede tomar la aproximación $\mu \approx m_P$. Esto es equivalente a considerar el sol como un marco inercial. Esto significa que de costumbre mecánica ("sistema inercial" de la mecánica) no puede ser aplicado directamente, pero son una buena aproximación. Si quieres resolver exactamente la dinámica del sistema debe mover el centro de masa y trabajar desde allí, con la reducción de la masa.

El total de momentum angular es una cantidad conservada en el sistema total, porque nunca hay un par externo $\tau=r \wedge F$ aplicado en el sistema. No importa que observador eres, la dirección de la fuerza $F$ siempre es paralelo al vector de posición $r$, lo $\tau=0$.

En el centro de masa marco, el momento lineal total se conserva para todo el sistema, ya que no hay fuerza externa que actúa sobre ella; pero no para cada uno de los cuerpos por separado debido a que la gravedad actúa sobre cada uno de ellos.

Si usted pone su marco en el sol o en el planeta (no inercial marcos), entonces el momento lineal es no conservadas, incluso para todo el sistema, porque la única contribución proviene del planeta, y que no es una cantidad conservada.

Nota: es el centro de masa del sol, que se mueve en una órbita elíptica alrededor del centro de masa de los dos cuerpos, en tanto que en el sol.