Acabo de empezar a teclear algunos números en mi calculadora y accidentalmente me he dado cuenta de que $\frac{123456789}{987654321}=1/8$ y viceversa $\frac{987654321}{123456789}=8.000000072900001$ , tan cerca de $8$ .
¿Es sólo una coincidencia o hay un patrón detrás de esto u otra explicación? Lo intenté con subconjuntos más pequeños de los números pero nunca obtuve un patrón similar.
Definamos $d(b)=\sum^{b-1}_{k=1}k\,b^{k-1}$ y $u(b)=\sum^{b-1}_{k=1}(b-k)\,b^{k-1}$ (el nuestro sería el caso especial $b=10$ ). Ahora, de la conocida serie $$\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots,$$ tenemos $$d(b)\approx\frac{b^{b-2}}{\left(1-\frac{1}{b}\right)^2}$$ y $$u(b)+d(b)=b\,\frac{b^{b-1}-1}{b-1}\approx\frac{b^{b-1}}{1-\frac{1}{b}}.$$ Así que $$\frac{u(b)}{d(b)}\approx b\,\left(1-\frac{1}{b}\right)-1=b-2.$$ No voy a hacer el $\approx$ más preciso, no es difícil, pero sí tedioso. Aquí hay algunos valores numéricos para esa proporción para varias bases:
10: 8.00000007290000
11: 9.00000000350494
12: 10.00000000014928
13: 11.00000000000571
14: 12.00000000000020
15: 13.00000000000001
16: 14.00000000000000
17: 15.00000000000000
18: 16.00000000000000
19: 17.00000000000000
20: 18.00000000000000
En neerlandés la palabra "Matemáticas" se traduce como "Wiskunde", que traducido literalmente al español es: Wis=Quitar, Kunde=Arte, por tanto, el "arte de quitar". Lo que intento decir es que... para mí las matemáticas son una forma de utilizar símbolos para transformar cosas complicadas como $1+1+1+1$ en cosas simples como $4$ . Mientras conozcamos el número $4$ Entonces será más fácil de usar $4$ en lugar de $1+1+1+1$ . Para mí estás haciendo lo contrario de las matemáticas aquí, sin ofender ;) Creo que cualquiera que entienda de números y fracciones, puede simplemente responder a esta pregunta con: "es así", al igual que $4/2=2$ .
@Yeti La palabra "wis" en wiskunde no tiene ninguna relación con "wissen" o "removing" - se traduce más bien como "certain". Y "kunde" tampoco se traduce como "arte". Aparte de eso, has hecho una buena observación ;)
Comience con $\dfrac 1{9^2}=\dfrac 1{81}=0.012345679\underline{012345679}\;$ (esto es bien conocido ver por ejemplo esto rosca ) entonces $\;1-\dfrac 1{81}=\dfrac {80}{81}=0.987654320\underline{987654320}\;$ y concluir que : $$\dfrac {0.\underline{123456790}}{0.\underline{987654320}}=\dfrac {10}{81}\dfrac {81}{80}=\dfrac 18$$
¿Qué significan las líneas de abajo? ¿Repiten los decimales? Me enseñaron que la línea estaba por encima de los números; ¿significa algo más o es sólo notación equivalente?
@QPaysTaxes: Sí, es simplemente repetir el decimal (como lo aprendí en Francia, pero parece que sí debería estar superpuesto...).
Siguiendo la explicación de Raymond Manzoni, podemos ampliar a:
$\dfrac {998877665544332211}{112233445566778899}=8,90000000000007000 $
$\dfrac {999888777666555444333222111}{111222333444555666777888999}=8,99000000000005000 $
$\dfrac {999988887777666655554444333322221111}{111122223333444455556666777788889999}=8,99900000000003000 $
....
No parece que haya una explicación que facilite la $\frac{987654321}{123456789}$ está tan cerca de $8$ que no sea un Coincidencia matemática .
Sin embargo, como no es exactamente $8$ Esto no cuenta como una coincidencia matemática. Tal vez la mejor manera de reescribirlo que muestra por qué está cerca de $8$ es:
$8\cdot123456789 + 9 = 987654321$
Pero lo que no es difícil de explicar es el álgebra básica que se da:
$$\frac{123456789}{987654321} \approx \frac{1}{8}$$
Tomando la inversa resulta:
$$\frac{987654321}{123456789} \approx \frac{8}{1} (= 8)$$
Voy a votar a la baja esta respuesta porque esto es ciertamente no una mera coincidencia. Tanto las respuestas de Raymond Manzoni como las del profesor Victor ofrecen explicaciones convincentes de por qué la respuesta es casi exactamente 8.
@TannerSwett En mi respuesta hay un enlace, en el que esta coincidencia aparece de hecho en la Wikipedia como "Coincidencia matemática" bajo el epígrafe "Coincidencias decimales". Por supuesto, una coincidencia matemática no es necesariamente una "coincidencia", es sólo un término para cualquier peculiaridad con patrones "especiales" en las matemáticas (tal vez la única coincidencia real es con las constantes). Pero sobre las respuestas a las que te refieres, creo que es una mala práctica explicar el funcionamiento interno de una matemática con la matemática, porque siento que se convierte en una tautología.
Claro, no voy a discutir sobre el significado de la palabra "coincidencia". Pero sigo pensando que tu afirmación de que "no parece haber una explicación... que no sea una coincidencia matemática" no es exacta. ¿Puedes dar un ejemplo de algo en matemáticas que creas que hace ¿tiene una explicación satisfactoria?
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No, es un comportamiento inexplicable al menos según mis modelos. ¿Tal vez hay un intercambio de pila de psicología?
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:) Bueno, gracias por eso. Sólo me interesaba
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¿Es correcta tu segunda fracción? ¿Querías escribir $987654321/123456789$ ? En tal caso puede ser un error de redondeo de su calculadora ya que la inversa de $1/8$ es exactamente 8
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@EnderWiggins En realidad el $\frac18$ no es exacta, la respuesta real es algo así como $0.1249999$
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Sí, claro. Muchas gracias.
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Es exactamente $\frac{1}{8}$ si sólo cambias dos dígitos: $$\frac{123456789}{9876543\color{red}{12}}=\frac{1}{8}$$
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@projectilemotion He intentado introducir la fracción modificada en una calculadora, que proporciona el resultado exacto $\frac{1}{8}$ y haciendo la recíproca se obtiene $0.7999999994$ lo cual es una incoherencia - mientras que para la fracción proporcionada por el OP, no proporcionó una salida de $\frac{1}{8}$
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@mrnovice Si miras mi respuesta, verás que la diferencia es $9$ en la ecuación dada, y por el comentario anterior esto es $12+9=21$ . Así que tu calculadora sólo tiene problemas de precisión, o una representación demasiado limitada de los números ("inexactitud de la coma flotante").
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¿Sólo una coincidencia? ¡LOL! En base b, forme dos números, uno con dígitos desde b-1 hasta 1, el otro con dígitos desde 1 hasta b-1, y divida el más grande por el más pequeño: el resultado será cercano a b-2 (ligeramente mayor, sin embargo).
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@ProfesorVector "el resultado será cercano a", ¿por qué? (rethorical) Por supuesto que es normal que si intentas $\frac{321}{123}$ -> $\frac{4321}{1234}$ -> $\frac{54321}{12345}$ y continúas, puede que acabes con un número que tenga algo especial (en este caso "casi un número entero"). Pero eso sigue siendo sólo una coincidencia, y cualquier explicación será probablemente más difícil que la propia fracción.