Como estoy trabajando en un problema con 3 ecuaciones lineales con 2 incógnitas descubro cuando puedo usar cualquiera de las dos ecuaciones parece que siempre encontrar una solución ok. Pero cuando la conecto en la tercera ecuación con dos variables , la tercera puede o no puede causar una contradicción en función de si se trata de una solución y estoy bien con eso, PERO estoy confundido en cuando cojo los dos ecuaciones con dos incógnitas parece que no tiene más remedio que trabajar. Hay algo acerca de álgebra lineal que hace de esta manera y existen condiciones donde no va a ser el caso que voy a encontrar una solución coherente utilizando sólo las dos ecuaciones? Mi álgebra lineal es oxidado y me estoy poniendo al día. Estas son sólo las ecuaciones de las líneas y tal vez la geometría se lo explicaba, pero no estoy seguro de cómo. Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Cada ecuación lineal representa una línea en el plano. La mayoría de las dos líneas de tiempo se se cruzan en un punto, que es la solución simultánea que buscan. Si las dos líneas tienen exactamente la misma pendiente, puede no satisfacer así que no hay solución o pueden ser la misma línea y todos los puntos de la línea de soluciones. Cuando añades una tercera ecuación a la mezcla, es otra línea. Es poco probable que vaya a través del punto que resuelve las dos primeras ecuaciones, pero puede.
Hay tres casos posibles para $2$ ecuaciones lineales con conexión pendiente y la intersección:
Las líneas tienen la forma $y(x) = mx + b$.
Caso 1: las líneas paralelas
Una solución no existe.
Las líneas son paralelas: la de tener la misma pendiente.
$$ % \begin{align} % y_{1}(x) &= m x + b_{1} \\ % y_{2}(x) &= m x + b_{2} \\ % \end{align} % $$
Caso 2: líneas de intersección
Tenemos existencia y unicidad.
Las pendientes son distintas.
$$m_{1} \ne m_{2}$$
$$ % \begin{align} % y_{1}(x) &= m_{1} x + b_{1} \\ % y_{2}(x) &= m_{2} x + b_{2} \\ % \end{align} % $$
Caso 3: líneas coincidentes
Tenemos existencia, pero no singularidad. Hay un número infinito de soluciones. Cada punto se resuelve el sistema de ecuaciones.
Ambas líneas son las mismas.
$$ % \begin{align} % y_{1}(x) &= m x + b \\ % y_{2}(x) &= m x + b \\ % \end{align} % $$
En términos de álgebra lineal, de mirar el problema en términos de $\color{blue}{range}$ $\color{red}{null}$ espacios.
El sistema lineal de dos ecuaciones es $$ % \begin{align} % m_{1} x - y &= b_{1} \\ % m_{2} x - y &= b_{1} \\ % \end{align} $$ que tiene la forma de la matriz $$ % \begin{align} % \mathbf{A} x &= b \\ % \left[ \begin{array}{cc} m_{1} & -1 \\ m_{2} & -1 \\ \end{array} \right] % \left[ \begin{array}{cc} x \\ y \\ \end{array} \right] % &= % \left[ \begin{array}{cc} b_{1} \\ b_{2} \\ \end{array} \right] % \end{align} % $$
El Teorema Fundamental proporciona un marco natural para la clasificación de los datos y de las soluciones.
Teorema Fundamental de Álgebra Lineal
Una matriz de $\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{m\times n}_{\rho}$ induce a los subespacios: $$ \begin{align} % \mathbf{C}^{n} = \color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A}^{*} \right)} \oplus \color{red}{\mathcal{N} \left( \mathbf{A} \right)} \\ % \mathbf{C}^{m} = \color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A} \right)} \oplus \color{red} {\mathcal{N} \left( \mathbf{A}^{*} \right)} % \end{align} $$
Caso 1: No hay existencia
La matriz $\mathbf{A}$ tiene un rango defecto $(m_{1} = m_{2})$$b_{1} \ne b_{2}$. $$ b = \color{blue}{b_{\mathcal{R}}} + \color{red}{b_{\mathcal{N}}} $$ Es el $\color{red}{null}$ espacio componente que impide la solución directa. (Curiosamente, no es una solución de mínimos cuadrados.) $$
El vector de datos $b$ no es una combinación de las columnas de a $\mathbf{A}$. La columna de espacio $$ \mathbf{C}^{2} = \color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A} \right)} \oplus \color{red} {\mathcal{N} \left( \mathbf{A}^{*} \right)} $$ La descomposición es $$ \color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A} \right)} = % \text{span } \left\{ \, \color{blue}{ \left[ \begin{array}{c} m \\ -1 \end{array} \right] } \, \right\} \qquad \color{red}{\mathcal{N} \left( \mathbf{A}^{*} \right)} = % \text{span } \left\{ \, \color{red}{ \left[ \begin{array}{r} -1 \\ m \end{array} \right] } \, \right\} $$
Caso 2: Existencia y unicidad
La matriz $\mathbf{A}$ tiene rango completo $(m_{1}\ne m_{2})$. El vector de datos está enteramente en las $\color{blue}{range}$ espacio $\color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A} \right)}$ $$ b = \color{blue}{b_{\mathcal{R}}} $$
El $\color{red}{null}$ espacio es trivial: $\color{red}{\mathcal{N} \left( \mathbf{A}^{*} \right)}=\mathbf{0}$. $$ \mathbf{C}^{2} = \color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A} \right)} $$ La descomposición es $$ \color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A} \right)} = % \text{span } \left\{ \, \color{blue}{ \left[ \begin{array}{c} m_{1} \\ -1 \end{array} \right] }, \, \color{blue}{ \left[ \begin{array}{c} m_{2} \\ -1 \end{array} \right] } \right\} $$
Caso 3: la Existencia, la no singularidad
La matriz $\mathbf{A}$ tiene un rango defecto $(m_{1} = m_{2} = m)$, sin embargo,$b_{1} = b_{2}$. $$ b = \color{blue}{b_{\mathcal{R}}} $$ La columna de espacio se ha $\color{blue}{range}$ $\color{red}{null}$ componentes de espacio: $$ \mathbf{C}^{2} = \color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A} \right)} \oplus \color{red} {\mathcal{N} \left( \mathbf{A}^{*} \right)} $$ La descomposición es $$ \color{blue}{\mathcal{R} \left( \mathbf{A} \right)} = % \text{span } \left\{ \, \color{blue}{ \left[ \begin{array}{c} m \\ -1 \end{array} \right] } \, \right\} \qquad \color{red}{\mathcal{N} \left( \mathbf{A}^{*} \right)} = % \text{span } \left\{ \, \color{red}{ \left[ \begin{array}{r} -1 \\ m \end{array} \right] } \, \right\} $$
Posdata: los fundamentos teóricos aquí son útiles. El viaje a la comprensión comienza con ejemplos sencillos como en @Nick comentario.
Vamos a pensar utilizando el vector de notación.
Un sistema lineal con dos incógnitas $x$$y$, y de dos ecuaciones $$ \begin{align*} v_1 x + w_1 y &= a_1 \\ v_2 x + w_2 y &= a_2 \end{align*} $$ puede ser escrito en notación vectorial $$ x\, \vec{v} + y\, \vec{w} = \vec{a}. $$ Es decir, se quiere saber si $\vec{a}$ se puede escribir como una combinación lineal de $\vec{v}$$\vec{w}$.
Fija los vectores $\vec{v}$$\vec{w}$, afirmar que una solución siempre existe lo $\vec{a}$ es, es el mismo estado que $\vec{v}$ $\vec{w}$ se extiende por todo el avión. Si no ($\vec{v}$$\vec{w}$ son paralelas), dependiendo de la $\vec{a}$, la solución podría no existir. Y cuando existe, no va a ser único.
