Distribución del proceso de Poisson compuesto

Question

Supongamos que un proceso de Poisson compuesto se define como $X_{t} = \sum_{n=1}^{N_t} Y_n$ donde $\{Y_n\}$ son yo.yo.d. con algunos de distribución de $F_Y$, e $(N_t)$ es un proceso de Poisson con parámetro de $\alpha$ y también independiente de $\{Y_n\}$.

1. Es cierto que a medida que $t\rightarrow \infty, \, \frac{X_{t}-E(X_{t})}{\sigma(X_t) \sqrt(N_t)} \rightarrow \mathbf{N}(0, 1)$ de distribución, donde el límite es un estándar de la distribución Gaussiana? Estoy considerando usando el Teorema del Límite Central para mostrar, pero el teorema de la que he aprendido se aplica solamente cuando el $N_t$ es fijo y determinista, en lugar de siendo un proceso de Poisson.
2. Un lado de la pregunta: ¿es posible obtener la distribución de $X_{t}$, para cada una de las $t\geq 0$? Algún libro que tiene la derivación?

Gracias!

Answer 1

Deje $Y(j)$ ser yo.yo.d. con finito media y la varianza, y establecer $\mu=\mathbb{E}(Y)$ $\tau=\sqrt{\mathbb{E}(Y^2)}$ . Si $(N(t))$ independiente es un proceso de Poisson con tasa de $\lambda$, a continuación, el compuesto proceso de Poisson se define como $$X(t)=\sum_{j=0}^{N(t)} Y(j).$$

La función característica de a $X(t)$ se calcula de la siguiente manera: real $s$ hemos $$\begin{eqnarray*} \psi(s)&=&\mathbb{E}\left(e^{is X(t)}\right)\cr &=&\sum_{j=0}^\infty \mathbb{E}\left(e^{is X(t)} \ | \ N(t)=j\right) \mathbb{P}(N(t)=j)\cr &=&\sum_{j=0}^\infty \mathbb{E}\left(e^{is (Y(1)+\cdots +Y(j))} \ | \ N(t)=j\right) \mathbb{P}(N(t)=j)\cr &=&\sum_{j=0}^\infty \mathbb{E}\left(e^{is (Y(1)+\cdots +Y(j))}\right) \mathbb{P}(N(t)=j)\cr &=&\sum_{j=0}^\infty \phi_Y(s)^j {(\lambda t)^j\over j!} e^{-\lambda t}\cr &=& \exp(\lambda t [\phi_Y(s)-1]) \end{eqnarray*}$$ donde $\phi_Y$ es la función característica de a $Y$.

De esto podemos calcular fácilmente la $\mu(t):=\mathbb{E}(X(t))=\lambda t \mu$ y $\sigma(t):=\sigma(X(t))= \sqrt{\lambda t} \tau$.

Tome la expansión $\phi_Y(s)=1+is\mu -s^2\tau^2 /2+o(s^2)$ y sustituimos en la función característica de la normalizado de la variable aleatoria ${(X(t)-\mu(t)) /\sigma(t)}$ obtener

$$\begin{eqnarray*} \psi^*(s) &=& \exp(-is(\mu(t)/\sigma(t))) \exp(\lambda t [\phi_Y(s/\sigma(t))-1]) \ &=& \exp(-s^2/2 +o(1)) \end{eqnarray*}$$ donde $o(1)$ va a cero, como se $t\to\infty$. Esto le da el teorema del límite central $${X(t)-\mu(t)\over\sigma(t)}\Rightarrow N(0,1).$$

Podemos reemplazar $\sigma(t)$, por ejemplo, con $\tau \sqrt{N(t)}$ para obtener $${X(t)-\mu(t)\over\tau \sqrt{N(t)}}= {X(t)-\mu(t)\over\sigma(t)} \sqrt{\lambda t \over N(t)} \Rightarrow N(0,1),$$ por Slutsky del teorema, ya que $\sqrt{\lambda t \over N(t)}\to 1$ de probabilidad por la ley de los grandes números.

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Añadido: Vamos a $\sigma=\sqrt{\mathbb{E}(Y^2)-\mathbb{E}(Y)^2}$ ser la desviación estándar de $Y$, y definir la secuencia de variables aleatorias estandarizadas $$T(n)={\sum_{j=1}^n Y(j) -n\mu\over\sigma\sqrt{n}},$$ así que $${X(t)-\mu N(t)\over \sigma \sqrt{N(t)}}=T(N(t)).$$

Deje $f$ ser claramente delimitado, continua la función en $\mathbb{R}$. Por la costumbre teorema central del límite nos ha $\mathbb{E}(f(T(n)))\to \mathbb{E}(f(Z))$ donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar.

Tenemos por cualquier $N>1$, $$\begin{eqnarray*} |\mathbb{E}(f(T(N(t)))) - \mathbb{E}(f(Z))| &=& \sum_{n=0}^\infty |\mathbb{E}(f(T(n)) - \mathbb{E}(f(Z))|\ \mathbb{P}(N(t)=n) \cr &\leq& 2\|f\|_\infty \mathbb{P}(N(t)\leq N) +\sup_{n>N} |\mathbb{E}(f(T(n)))- \mathbb{E}(f(Z)) |. \end{eqnarray*}$$ Primera elección de $N$ grande para hacer el lado derecho pequeñas, dejando $t\to\infty$, por lo que que $\mathbb{P}(N(t)\leq N)\to 0$, muestra que $$\mathbb{E}(f(T(N(t)))) \to \mathbb{E}(f(Z)).$$ Esto demuestra que $T(N(t))$ converge en distribución a una normal estándar como $t\to\infty$.

Answer 2

La derivación de la fórmula para la distribución de $X_t$. La fórmula $$P_{X_t } = e^{ - t\nu (\mathbb{R})} \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {(k!)^{ - 1} t^k \nu ^k } ,$$ donde $\nu$ es el L\'evy medida de $X$ $\nu^k$ $k$veces convolución de $\nu$, es muy fácil derivar. De hecho, el uso de la notación en la pregunta, la ley de total probabilidad da $${\rm P}(X_t \B) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{\rm P}(X_t \en B|N_t = k){\rm P}(N_t = k)} .$$ Por lo tanto, $${\rm P}(X_t \B) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{\rm P}(Y_1 + \cdots + Y_k \B)\frac{{e^{ - \alpha t} (\alpha t)^k }}{{k!}}} = e^{ - \alpha t} \sum\limits_{k = 0}^\infty {(k!)^{ - 1} t^k \alpha ^k F_Y^k (B) } ,$$ donde $F_Y^k$ $k$veces convolución de $F_Y$. Ahora, puesto que la L\'evy medida $\nu$ está dado por $\nu (dx) = \alpha F_Y (dx)$, tiene $\nu(\mathbb{R}) = \alpha$$\nu^k = \alpha^k F_Y ^k$, y así la fórmula original se ha establecido.

Observación. Como debe ser clara, de la distribución de $X_t$ es muy complicado en general.

Answer 3

La distribución de $X_t$ está dado por $$P_{X_t } = e^{ - t\nu (\mathbb{R})} \sum\nolimits_{k = 0}^\infty {(k!)^{ - 1} t^k \nu ^k } ,$$ donde $\nu$ es el L\'evy medida de $X$, e $\nu^k$ $k$veces convolución de $\nu$. Esto se encuentra en el Comentario 27.3 en el libro [L\'evy Procesos e Infinitamente Divisible Distribuciones], por Sato.

Para un compuesto proceso de Poisson con tasa de $\alpha$ y saltar distribución $F_Y$, el L\'evy medida $\nu$ es finito y determinado por $\nu(dx)=\alpha F_Y (dx)$.

EDITAR:

Para la primera pregunta, tenga en cuenta que si $t =n \in \mathbb{N}$, luego $$X_t = X_n = (X_1 - X_0) + (X_2 - X_1) + \cdots + (X_n - X_{n-1})$$ (tenga en cuenta que $X_0 = 0$). Por lo tanto, $X_t$ es una suma de $n$ i.yo.d. variables, cada una con expectativa ${\rm E}(X_1)$ y la varianza ${\rm Var}(X_1)$. Ahora, como es bien conocido y fácil de mostrar, $${\rm E}(X_1) = \alpha {\rm E}(Y_1) = \alpha \int {xF_Y (dx)}$$ y $${\rm Var}(X_1) = \alpha {\rm E}(Y_1^2) = \alpha \int {x^2 F_Y (dx)},$$ siempre que $Y_1$ ha finito segundo momento. Por lo tanto, por el teorema central del límite, $$\frac{{X_t - n\alpha {\rm E}(Y_1 )}}{{\sqrt {\alpha {\rm E}(Y_1^2 )} \sqrt n }} \{\rm N}(0,1),$$ como $n \to \infty$.

EDIT: lo pongo de otra manera,
$$\frac{{X_t - {\rm E}(X_t )}}{{\sqrt {{\rm Var}(X_t )} }} \{\rm N}(0,1)$$ (aquí se muestra para el caso de $t \to \infty$ entero).

EDIT: Algunos detalles más en respuesta a la OP de la solicitud.

Un compuesto proceso de Poisson es un caso especial de un L\'evy proceso, es decir, un proceso $X=\{X_t: t \geq 0\}$ fijo independiente de incrementos continuos en la probabilidad y teniendo muestra las rutas que se haga continua con la izquierda límites, y a partir de $0$. En particular, para cualquier $t \geq 0$ y cualquier $n \in \mathbb{N}$, $X_t$ se puede descomponer como suma de $n$ i.yo.d. variables aleatorias, lo que significa que $X_t$ es infinitamente divisible. Existe una amplia literatura disponible en línea sobre este importante tema.