Evaluar la integral: $\int\frac{xe^{2x}}{(1+2x)^2}\ dx$

Question

$\int\frac{xe^{2x}}{(1+2x)^2}\ dx$

Esta integración por partes del problema. Estoy pidiendo ayuda con mi método. Me enseñó a usar el LIATE (función Logarítmica, Trigonométricas Inversas Función Algebraica de la Función, Función Trigonométrica, Exponencial y función) mnemónico para decidir qué función sería la "u" y "dv" para ser utilizado en la siguiente fórmula:

$\int udv= uv-\int v\ du$

u iba a ser lo que alguna vez la primera letra de una función que entró en primer lugar en la tecla de acceso y dv sería el último.

Ahora este problema es que no encajen en las instrucciones de mi, y yo soy poco confundido en cuanto a cómo resolverlo. Por favor, no dejar respuestas sin una clara explicación por escrito en inglés claro. Usted no tiene que resolver el problema. Me gustaría saber si mi método es correcto.

Ninguna intención peyorativa.

Answer 1

Deje $u=xe^{2x}$ y deje $dv=\frac{dx}{(1+2x)^2}$. A continuación,$du=(1+2x)e^{2x}\,dx$.

Necesitamos encontrar a $v$. Así que tenemos que encontrar $\int \frac{dx}{(1+2x)^2}$. Deje $y=1+2x$. A continuación,$dy=2\,dx$, y por lo tanto $dx=\frac{dy}{2}$. Así $$\int\frac{dx}{(1+2x)^2}=\int \frac{dy}{2y^2}=-\frac{1}{2y}+C.$$ We will take $C=0$. So we are taking $v=-\frac{1}{2(1+2x)}$.

Ahora, utilizando la fórmula de integración por partes, nos encontramos con que nuestros integral es $uv-\int v\,du$. Así tenemos $$-\frac{xe^{2x}}{2(1+2x)}+\int \frac{(1+2x)e^{2x}}{2(1+2x)}\,dx.$$ Nota de la cancelación. Necesitamos encontrar a $\int \frac{e^{2x}}{2}\,dx$. Por sustitución o por la inspección, la integral es $\frac{e^{2x}}{4}+C$. Poniendo las cosas en conjunto, obtenemos $$\frac{e^{2x}}{4}-\frac{xe^{2x}}{2(1+2x)}+C.$$ Podemos hacer este look un poco mejor mediante el uso de un común denominador $4(1+2x)$. Tenemos $$e^{2x}\frac{(1+2x)-2x}{4(1+2x)}+C,$$ o, equivalentemente, $$\frac{e^{2x}}{4(1+2x)}+C.$$

Comentario: las Cosas "trabajado" porque la derivada de $xe^{2x}$ un $1+2x$ "en él," que nos da la magia de cancelación más tarde. No me gusta este problema, porque si reemplazamos $e^{2x}$$e^{3x}$, y dejar todo lo demás sin cambios, se obtiene una integral que no puede ser resuelto mediante funciones elementales.

Answer 2

Sugerencia

Cada vez que hay $e^{g(x)}$ términos involucrados que siempre trato de hacer uso de esta propiedad:

$\int e^{g(x)}[f'(x) + g'(x)f(x)] dx = f(x) e^{g(x)}$

Esta fórmula es realmente el hermano de uno de la fórmula más comúnmente utilizada

$\int e^{x} [f(x) + f'(x)]= e^{x}f(x)$

Aquí $\displaystyle f(x) = \frac{1}{2x+1} $