Usted debe considerar el modelado de la situación mediante la distribución multinomial. Voy a cambiar de variables como yo prefiero reservar $n$ por tamaño de la muestra y denotan el número de opciones por $K$ (es decir, $K$ representa el número de colores, respuestas, etc).
Deje $p_k$ ser la verdadera proporción de personas en la población que elegir el $k^\text{th}$ elección cuando se presenta con $K$ opciones. Usted puede re-interpretar $p_k$ como la probabilidad de que una persona al azar se elige la $k^\text{th}$ elección cuando se presenta con $K$ opciones. Por lo tanto, por definición, tenemos:
$$\sum_{k=1}^K p_k = 1$$
Deje $x_k$ soporte para el número de personas que optan por las $k^\text{th}$ objeto cuando nos muestra las opciones de $n$ de la gente. Entonces la función de densidad de ${x_k}$ está dado por la multinomial pdf:
$$f(x_1,...x_K|-) = \begin{cases} \frac{n!}{x_1! ... x_K!} p_1^{x_1} ... p_K^{x_K} \quad \text{if} \quad \sum_kx_k=n \\ 0 \quad \text{otherwise}\end{cases}$$
Luego, puede usar al máximo la probabilidad de la teoría a la estimación de $\{p_1,p_2,...p_K\}$ y calcular los intervalos de confianza para estas estimaciones.
Cómputo de los intervalos de confianza también permiten calcular el margen de errores asociados con sus estimaciones para un determinado tamaño de muestra. Estos margen de errores le ayudará a calcular la muestra necesaria tamaños para lograr un margen de error de 5%, con un 95% de confianza.
MLE, el Margen de error y el Tamaño de la Muestra Cálculos
No es difícil mostrar que el MLE estimación de $p_k$ está dada por:
$$\hat{p}_k = \frac{x_k}{n}$$
El de arriba estimador imparcial como:
$$E(\hat{p}_k) = \frac{E(x_k)}{n} = \frac{n p_k}{n}=p_k$$
La varianza del estimador es:
$$V(\hat{p}_k) = \frac{V(x_k)}{n^2} = \frac{n p_k (1-p_k)}{n^2}=\frac{p_k (1-p_k)}{n}$$
Suponiendo que $n$ es lo suficientemente alta, se puede utilizar el teorema del límite central para aproximar la distribución de $\hat{p}_k$ como una normal con la media en $p_k$ y la varianza $\frac{p_k (1-p_k)}{n}$.
Así, el margen de error para un 95% de intervalo de confianza está dado por:
$$1.96 \sqrt{\frac{p_k (1-p_k)}{n}}$$
No sabemos $p_k$ apriori. Sin embargo, una estimación conservadora para $p_k$ que es igual a $K^{-1}$ (es decir, asumimos que todas las opciones son igualmente probables). El argumento anterior es un poco ad-hoc, pero tal vez sirva el OP.
Por lo tanto, tenemos la exigencia de que:
$$1.96 \sqrt{\frac{K^{-1} (1-K^{-1})}{n}} = 0.05$$
Si dejamos $K=3$ obtenemos el tamaño de muestra requerido como $n=341.475$.
PS: La última pregunta sobre la distribución Asintótica de multinomial parece pertinente en el contexto anterior y puede sugerir maneras de prestar el rigor de las ideas anteriores.
