Eliminación de conjuntos de modelos de teoría de conjuntos

Question

Tengo un ingenuo y pregunta abierta:

¿Cómo se puede eliminar un conjunto a partir de un modelo de la teoría de conjuntos de tal manera que el resultado es de nuevo un modelo de la teoría de conjuntos? Directamente relacionado: ¿qué tipo de conjuntos se puede quitar?

Por ejemplo: Si $U$ es un ultrafilter en un cardinal medible $\kappa$, entonces la ultrapower $M:=$Ult$(V,U)$ es un modelo de la teoría de conjuntos que no se contienen a $U$. En un abuso de notación, este modelo de vez en cuando está escrito como $V^{\kappa}/U$, imitando la notación para modding por alguna relación.

Otro ejemplo: Si $M[G]$ es un obligando a la extensión, a continuación, $M$ sería un interior modelo con el conjunto $G$ eliminado. Sin embargo, para la vida de mí no veo una manera de encontrar la $M$ desde dentro de$M[G]$, incluso si el original obligando a poset ha sido identificado.

Hay otros ejemplos de esto?

Answer 1

Aquí están algunas otras maneras de obtener modelos de $ZFC$ que excluyen a ciertos conjuntos.

Si su juego se produce en lo suficientemente alto $V_\kappa$ y no son lo suficientemente numerosos inaccessibles por debajo de esta $\kappa$, a veces $V_\lambda$ algunos $\lambda < \kappa$ inaccesible es un modelo de $ZFC$ que no tiene un conjunto particular.

Por ejemplo, si $U$ es un ultrafilter en un medibles cardenal $\kappa$. Hay inaccesible $\lambda < \kappa$. $V_\lambda \models \text{ZFC}$ y $U \notin V_\lambda$. Algunos de lo absoluto, si usted hace esto al menos medibles cardenal, incluso puedes modelo sin medibles cardenales.

También si $0^\sharp$ existe y el conjunto que desea eliminar es incontable, a continuación, $L_{\omega_1} \models ZFC$ y este juego no es en $L_{\omega_1}$.

Answer 2

¿Qué tipo de conjuntos se pueden quitar es un poco extraña pregunta.

Dos modelos de $\sf ZFC$ con el mismo conjunto de ordinales (y, en particular, el mismo ordinales) son iguales. Por lo tanto, si el interior de la modelo es estrictamente diferente del universo, hemos eliminado los conjuntos de los números ordinales, los conjuntos de conjuntos de los números ordinales, y así sucesivamente.

Pensar en una función de clasificación, donde los conjuntos de los números ordinales son de rango $0$, y los grupos de clasificación $\alpha+1$ son conjuntos cuyos elementos están todos los de la fila $\leq\alpha$; y en el límite de pasos consideramos los conjuntos cuyos elementos son de rangos sin límites por debajo de $\alpha$. Está claro que si queremos eliminar conjuntos de rango $\alpha$ luego quitamos los conjuntos de cada rango por encima de ella. Y si le sumamos los conjuntos de rango $\alpha$, luego añadimos los conjuntos de cada rango por encima de él así.

Así resulta que, en los modelos de $\sf ZFC$ rango $0$ lo determina todo (que no es necesariamente el caso en los modelos de $\sf ZF$, aunque).

Si es así, ¿qué tipo de conjuntos de números ordinales podemos eliminar? Así, podemos a veces quitar los números reales, y otras veces se puede quitar los subconjuntos de a $\omega_1$, y otras veces se puede quitar subconjuntos de los grandes cardenales, y así sucesivamente. De hecho, a veces (por ejemplo, cuando el universo es una clase forzando la extensión) podemos eliminar un subconjunto de cada una de las infinitas cardenal.

Por supuesto, a veces podemos hacer mejor. En ultrapowers del universo, como usted ha mencionado, guardamos todos los subconjuntos de a $\kappa$, pero podemos, en lugar de identificar un determinado conjunto de subconjuntos de a $\kappa$ que es eliminado. Es decir, la ultrafilter que se utilizó para construir el ultrapower.

Del mismo modo, como escribí en mi comentario, podemos identificar que el universo es una extensión genérica sobre algunas interior del modelo. Y, a continuación, podemos identificar los conjuntos que no están en el interior del modelo, debido a su genericity.

Sin embargo, no podemos eliminar todos los aparatos que utilizan el proceso de toma de interior modelos (podemos, a veces, retire los conjuntos cortando el universo, o va a un conjunto transitivo modelo dentro del universo, pero supongo que no es la respuesta que estás buscando). Por ejemplo, si $x\in L$, entonces podemos eliminar $x$ tomando interior modelos; en particular, no podemos cambiar los ordinales a sí mismos. Más allá de eso, es difícil dar una respuesta concreta, porque casi todo es posible (es decir, si $x\notin L$, entonces hay un interior que es el modelo que omite $x$, es decir, $L$ sí).