¿Encontrar el valor de $\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}$?

Question

¿Encontrar el valor de $\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}$?

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Sé que $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}= 2^{n}$, $\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}= 2^{n}-1$ pero ¿cómo lidiar con $k$?

Answer 1

El teorema del binomio, tenemos

$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\tag 1$$

Distinción de $(1)$ revela

$$n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}kx^{k-1}\tag2$$

Ajuste $x=1$ $(2)$ rendimientos

$$n2^{n-1}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}k$$

Y ya terminamos!

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Curiosamente, demostró en Esta respuesta, que $m<n$, tenemos $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^k k^m=0

Answer 2

También hay un argumento combinatorio:

Supongamos que usted tiene un cuarto de $n$ personas y desea seleccionar un comité de $k$ de ellos, en donde uno de los miembros es el presidente. Hay $k\binom{n}{k}$ maneras de hacer esto. Su suma representa el número total de maneras de seleccionar un comité de cualquier tamaño (de$1$$n$) con un presidente.

¿De qué otra manera podemos pensar de esto? En su lugar, la primera elección, el presidente del comité. Hay $n$ maneras de hacer esto. A continuación, vaya a cada uno de los restantes $n-1$ de la gente, y decidir si se debe estar en el comité. Hay $2^{n-1}$ maneras de hacer esto. Tenga en cuenta que podemos crear cualquier comité/presidente del equipo de esta manera, como antes. Por lo tanto su suma es igual a $n 2^{n-1}$.

Answer 3

Tenemos $$\begin{align*} \sum_{k=0}^nk{n\choose k} &=\sum_{k=1}^nk{n\choose k}\\ &=n\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}\\ &=n\sum_{l=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{l!((n-1)-l)!}\quad\mbox{(by taking %#%#%)}\\ &=n\sum_{l=0}^{n-1}{n-1\choose l}\\ &=n2^{n-1}. \end{align*}$$

Answer 4

Prueba sin derivados:

$$\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}=\sum_{k=1}^n k\frac{n!}{(n-k)!k!} =\sum_{k=1}^n \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!} \\ = \sum_{k=1}^n \frac{n(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} = \sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1} \\ = n \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}= n2^{n-1}$$

Alternativa a prueba a través de la teoría de la probabilidad:

Lanzar una moneda no trucada $n$ a veces, encontrar la espera no de los jefes. Deje $N$ ser la variable aleatoria que indica el número de cabezas. A continuación, $E[N] = n/2$ porque $N$ es la suma de $n$ variables aleatorias de bernoulli con probabilidad de $1/2$. Pero también sabemos que $N$ tiene una distribución binomial. Por lo tanto $$E[N] =\sum_{k=1}^nk\binom{n}{k}2^{-n}$$

Reordenar para obtener una respuesta.

Answer 5

"Y así $\sum_{k=1}^n\binom nk=2^{n-1}$". Nope: $2^n-1$.

Boceto: Observe eso nk $$\sum_{k=1}^n k\binom nk x^{k-1}$$ is the derivative of $\sum_{k=0}^n\binom x ^ k$.