Tiempo de transición en un sistema de Lotka-Volterra

Question

Estoy trabajando con un conjunto de bienes con valores de ecuaciones diferenciales ordinarias basado en el de Lotka-Volterra de la competencia ecuaciones:

$$\begin{align} \dot{a_1} & = a_1 \left( 1 - a_1 - 2 a_2 \right) \\ \dot{a_2} & = a_2 \left( 1 - a_2 - (1-1/\nu) a_1 \right) \end{align}$$

where $a_{1,2} \in [0,1]$ and $\nu \ge 1$. I would like to obtain a closed form (or analytical) solution for the time, $\tau$, it takes for this system to transit between two regions in state space. Specifically, I would like to solve for $\tau$ given $a_1(0) = \delta$ and $a_2(\tau) = \delta$, where $1/2 \lt \delta \lt 1$. This is along the manifold between two fixed points: the unstable manifold of a saddle at $(a_1,a_2) = (1,0)$ and a stable equilibrium at $(a_1,a_2) = (0,1)$.

There is a solution for $\nu = 1$ ($\tau = -2 \text{ln}(1/\delta-1)$), but I have been unable to find a solution for the more general case in terms of $\nu$ (or even for any particular value of $\nu \gt 1$, including the limiting case of $\nu \rightarrow \infty$). This paper seems to imply that the equations above are not fully integrable except when $\nu = 1$ (see Eq. 25'), i.e, when the second equation is not a function of $a_1$. However, I'm not actually interested in solving this system for all time over the full state space. Question: Are there any methods to solve or obtain a reliable approximation for $\tau = f(\nu, \delta)$ para este sistema sólo dentro de mi región de interés?

Intentos:

• Además de papel y lápiz, he utilizado de Matlab dsolve y Mathematica DSolve junto con las hipótesis para tratar de resolver las Odas para el especificado las condiciones de contorno. Yo era incapaz de resolver el sistema mediante estos, pero podría no ser la manera de transformar o romper el sistema que facilitaría una solución?

• He intentado usar bajo orden de potencia de la serie, por ejemplo, en este trabajo, acerca de cada uno de los equilibrios para obtener las funciones de tiempo que se invierte para resolver por $\tau$. Este fue lejos de la realidad, ya que sólo un par de series de términos pueden ser utilizados.

• He tratado de esquemas basados en la simulación de la educación a distancia y ajuste de los tiempos de tránsito a una función de $\nu$. Esto requiere encontrar las condiciones iniciales que se encuentran en el colector. ¿Cómo puede ser hecho de forma fiable como una función de la $\nu$$\delta$? Y métodos de ajuste puede ser adaptado a la más general de las formas de la ecuación anterior (es decir, la reutilización de la misma ajuste de los coeficientes y sin ajuste de alta tridimensional de superficies)? Estoy más interesado en no ajustable-base de las soluciones, pero si usted puede demostrar algo que funciona bien, yo estaría feliz de verlo.

Actualización 1 – Mar. 17, 2014:

El nullclines del sistema y el determinante Jacobiano (relativa a la curvatura) puede usarse para obtener el estimado inicial y final de las condiciones. La solución para que las raíces de $\det(J)=0$ como una función de la $a_1$ y la escala de forma adecuada, se obtiene

$$a_2(t) = \tfrac{1}{2} \left( 2 - a_1(t) - \sqrt{a_1(t) \left( \tfrac{2}{\nu} \left( a_1(t)-1 \right) + 2 - a_1(t) \right)} \right)$$

For $a_1(0) = 1-\delta$, this expression appears to provide a good approximation for $a_2(0)$ on the stable manifold (attracting contour) in question. It is less reliable for obtaining an estimate for $a_1(\tau)$. Perhaps this is due to the Jacobian evaluated at $(a_1,a_2) = (0,1)$ being a defective matrix with only one eigenvector.

Update 2 – Mar. 25, 2014 – (post bounty):

The equation from @JJacquelin's answer immediately after the transformation to polar coordinates can be simplified and integrated definitely (I used Mathematica 9) with respect to the bounds at times $0$ and $\tau$:

$$\begin{align} \int_0^\tau{dt} & = \int_{\theta_0}^{\theta_{\tau}}{\frac{\sin^3\theta + \cos^3\theta + \left(2\cos\theta + \left(1-\tfrac{1}{\nu}\right)\sin\theta\right)\sin\theta\cos\theta}{\left(\tfrac{1}{\nu} \cos \theta + \sin \theta\right)\sin\theta\cos \theta}d\theta} + \int_{\rho_0}^{\rho_{\tau}}{\frac{1}{\rho}d\rho} \\ \tau & = \int_{\theta_0}^{\theta_{\tau}}{\frac{1-\tfrac{1}{\nu}+\left(2+\cot\theta\right)\cot\theta+\tan\theta}{1+\tfrac{1}{\nu}\cot\theta}d\theta} + \ln\left(\frac{\rho_{\tau}}{\rho_0}\right) \\ & = \frac{\nu^2}{1+\nu^2}\left(\ln\left(\frac{\cos(\theta_0)}{\cos(\theta_{\tau})}\right) +2\ln\left(\frac{\cos\theta_{\tau}+\nu\sin\theta_{\tau}}{cos\theta_0+\nu\sin\theta_0}\right)+\frac{1}{\nu^2}\ln\left(\frac{\cos\theta_{\tau}\left(1+\nu\tan\theta_{\tau}\right)^2}{\cos\theta_0\left(1+\nu\tan\theta_0\right)^2}\right)\right) + \nu\ln\left(\frac{\nu+\cot\theta_0}{\nu+\cot\theta_{\tau}}\right) + \ln\left(\frac{\rho_{\tau}}{\rho_0}\right) \end{align}$$

Transforming back from polar to Cartesian coordinates further simplifies the expression:

$$\tau = \ln\left(\frac{a_1(0)}{a_1(\tau)}\right) + 2\ln\left(\frac{a_1(\tau)+\nu a_2(\tau)}{a_1(0)+\nu a_2(0)}\right) + \nu\ln\left(\frac{a_2(\tau)\left(a_1(0)+\nu a_2(0)\right)}{a_2(0)\left(a_1(\tau)+\nu a_2(\tau)\right)}\right)$$

Here is some "simple" Matlab code that demonstrates this. Also in the code is an ODE-based method that uses ode45's event detection. This accurately finds the time $\tau$ by integrating along the manifold in question and terminating when the solution satisfies a condition. It's simple and fast for this basic case. However, recall that this system is a simplified version of a more general one in which the time scaling of the vector field can vary and even be different in each of the two dimensions. This could lead to long integration times if the scaling cannot be factored. I'm hoping that the analytical solution given here can be generalized.

The analytic solution-based part of my Matlab code underestimates $\tau$ (except for $\nu$ close to $1$ when it slightly overestimates it). The source of almost all of the error is due to the estimate of $a_1(\tau)$ (af1 en el código). Otra cosa es que estoy buscando.

Answer 1

Sabiendo que la solución analítica podría ser de interés para su trabajo, incluso si la solución sólo es proporcionada paramétrico de la forma en coordenadas polares.

La solución general por encima se da sin condiciones iniciales. Si las condiciones iniciales $a_1(0)$$a_2(0)$, el problema está totalmente determinado y una solución única puede ser derivada :

Fuera de la cuestión inicialmente estrictamente planteadas, una visión general de las soluciones del sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias se muestra a continuación : El mapa de las $a_1 , a_2$ y un croquis de la conducta.

Answer 2

Primero se definen rigurosamente el conjunto $S$ de interés, denominada "estable múltiple" en la pregunta. Para ello, tenga en cuenta que el cuadrante no negativo $x\geqslant0$, $y\geqslant0$, es estable por la dinámica, y que, para cada punto de partida en el cuadrante positivo $x\gt0$, $y\gt0$, la dinámica converge a $(0,1)$. Considerar la invierte la dinámica, que se define como $$x'=-x\cdot(1-x-2y),\qquad y'=-y\cdot(1-y-(1-1/\nu)x).$$ Cada solución de la inversión de la dinámica a partir de $(x_0,y_0)$ en la franja de gaza $x\in(0,1)$, $y\gt0$, cualquiera llega a la línea de $x=1$ en algún punto de $(1,y)$ $y\gt0$ o a $(1,0)$, o converge a $(0,0)$.

La "estable colector" de $(1,0)$ $(0,1)$para la dinámica original es el conjunto $S$ de las condiciones iniciales $x_0\in(0,1)$, $y_0\gt0$, tal que la solución de la inversión de la dinámica llega a $x=1$$(1,0)$. Muy a grandes rasgos, $S$ puede ser visto como la trayectoria de la dinámica original de partida de $(1,0)$.

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Segundo revisamos el caso de $\nu=1$. A continuación, $S$ es la línea de $a_1+a_2=1$ por lo tanto $\tau$ es el tiempo para ir de $(a_1,a_2)=(\delta,1-\delta)$$(a_1,a_2)=(1-\delta,\delta)$. La ecuación diferencial $a_2'=a_2(1-a_2)$ tiene una solución explícita, es decir, $$\frac{a_2(t)}{1-a_2(t)}=\mathrm e^t\cdot\frac{a_2(0)}{1-a_2(0)}.$$ Conectar esta identidad los valores de $a_2(0)=1-\delta$ $a_2(\tau)=\delta$ rendimientos $$\tau=2\log\left(\frac{\delta}{1-\delta}\right),$$ es decir, la fórmula en el post (con un signo menos que faltan). De manera más general, el tiempo para ir de $a_2(0)$ $a_2(\tau)\geqslant a_2(0)$es $$\tau=\log\left(\frac{a_2(\tau)\cdot(1-a_2(0))}{(1-a_2(\tau))\cdot a_2(0)}\right),$$ por lo tanto, cuando se $a_2(0)\to0$$a_2(\tau)\to1$, $$\tau\sim-\log a_2(0)-\log(1-a_2(\tau)).$$

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Considerar, finalmente,$\nu\gt1$. Deje $\mu=1/\nu$. En la línea $(1-\mu)a_1+a_2=1$, $a_2'=0$ y $a'_1\lt0$. En la línea $a_1+2a_2=1$, $a_1'=0$ y $a'_2\gt0$. Así la región entre estas dos líneas es estable y $S$ se encuentra en su totalidad entre estas dos líneas. Esto implica que, en todas partes en $S$, $$\mu a_2(1-a_2)\leqslant a_2'\leqslant a_2(1-a_2).$$ Teniendo en cuenta el sistema diferencial cerca del punto de $(a_1,a_2)=(1,0)$, uno ve que, al $\delta\to1$, el punto en $S$ tal que $a_1=\delta$ es tal que $a_2\sim(1-\delta)^\mu$, por lo tanto el tiempo $\tau$ ir de $a_1=\delta$ $a_2=\delta$es aproximadamente el tiempo para ir de $a_2=(1-\delta)^\mu$$a_2=\delta$. El resultado exacto en el caso de $\nu=1$ y el doble de la desigualdad en $a_2'$ de rendimiento $$\liminf_{\delta\1}\left(\frac{\tau}{-\log(1-\delta)}\right)\geqslant\mu(1+\mu),$$ y $$\limsup_{\delta\1}\left(\frac{\tau}{-\log(1-\delta)}\right)\leqslant1+\mu.$$ A grandes rasgos, para algunos $\mu(1+\mu)\leqslant\alpha\leqslant1+\mu$, $$\mathrm e^\tau\aprox(1-\delta)^{-\alpha}.$$ Desde $\alpha\lt2$, este es un speed-up cuando se compara con el $\nu=1$ de los casos, debido al hecho de que a partir de $a_1(0)=\delta$ $S$ es inicio de $a_2(0)\gg1-\delta$.