¿Dadas dos secuencias reales que van hasta el infinito, es posible seleccionar dos subsecuencias que crecen a la misma velocidad asympotically?

Question

¿Dadas dos secuencias reales positivos $a_n$ y $b_n$ que ambos divergen al infinito, es posible elegir dos subsecuencias $a_{s_n}$ y $b_{t_n}$ tal que $a_{s_n}/b_{t_n}\rightarrow1$?

Answer 1

No necesariamente. Si $$a_n=2^{2n}\quad\hbox{and}\quad b_n=2^{2n+1}$ $ entonces cualquier $a_{s_n}$ y cualquier $b_{t_n}$ tienen una relación de al menos $2$ o más $\frac12$.