Cómo probar $\displaystyle \sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{n}{k-i}\binom{n+i-1}{i}=0$

Question

Vi una identidad combinatoria cuando estudio álgebra lineal, pero el autor no explica cómo conseguirlo.

$\displaystyle \sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{n}{k-i}\binom{n+i-1}{i}=0$

Traté de $n=10$ o $20$ y pareció maturamente adaptado.

Quien me puede ayudar a demostrarlo. Gracias!.

Answer 1

Probablemente desee requieren $k > 0$, de lo contrario, su reclamo es $1 = 0$.

Cambio de nombre $k$, $n$ y $i$ $n$, $x$ y $k$, consigues un caso particular (el caso $x=y$) de la siguiente identidad:

$\sum\limits_{k=0}^n \left(-1\right)^k \dbinom{x}{n-k} \dbinom{k+y-1}{k} = \dbinom{x-y}{n}$.

Esto es, por ejemplo, la Proposición 3.4 (d) en mi PRIMES 2015 leer proyecto. (En caso de cambio de numeración, buscar "algunas aplicaciones de ejemplo del teorema").