Interpretación de algunos temas de dominio de los operadores de momentum (potencial)

Question

En el contexto de la matemática de la mecánica cuántica, un conocido no-go teorema conocido como Hellinger-Töplitz nos dice que un ilimitado, simétrica operador no puede ser definido en todas partes en el espacio de Hilbert $\mathcal H$. Por lo tanto, para muchos operadores de interés en la mecánica cuántica, debemos recurrir a restringir el dominio en el que se puede actuar. Junto con el Hamiltoniano, el impulso del operador $$ p:=-i\frac{\rm d}{\mathrm{d}x}$$ es el ejemplo más destacado de un operador. Ahora, una de las preguntas más importantes es clara: ¿Cuál es el correcto dominio de definición para el impulso del operador?

Para responder a esta pregunta, es de crucial importancia para considerar la cuestión de la auto-adjointness: Sólo la auto-adjunto operadores son admisibles como las características observables de la teoría, y hay ciertas vital de los resultados matemáticos, tales como el teorema espectral y la Piedra del teorema, que dejan claro que cualquier "buen" impulso operador, sin duda debe ser auto-adjunto: $ p^\star= p$. Así, la pregunta original es ligeramente refinado: ¿Cuál es el dominio correcto $\mathcal D( p)\subset \mathcal H$ que nos permite construir una auto-adjunto impulso operador?

Recientemente, uno de mis profesores tratada de una encarnación concreta de este (general y, posiblemente, vagos) pregunta: Considere la posibilidad de un espacio de Hilbert $\mathcal H=L^2(0,1)$ y dos "candidatos momenta', $ p_0$$ p_\alpha$, con los dominios

$$\mathcal D(p_0)=\{\psi\in \mathcal H \,|\, \psi\in \text{AC}(0,1),\psi'\in\mathcal H, \psi(0)=0=\psi(1)\} $$ $$ \mathcal D(p_\alpha)=\{\psi\in \mathcal H \,|\, \psi\in \text{AC}(0,1),\psi'\in\mathcal H, \psi(0)=\alpha\psi(1)\},\hspace{.5cm}|\alpha|=1 $$ Son estos operadores auto-adjuntos? Como resulta, se puede demostrar que $p_0$ es simétrica pero no auto-adjunto. Sin embargo, $p_\alpha$ es auto-adjunto. Parece que el dominio de $p_0$ es "demasiado pequeña".

Ahora, mi pregunta es: ¿Qué hace a la conclusión de que $p_0\neq p_0^\star$ implica para el canónica de primer año de la QM ejemplo de las infinitas potencialidades bien? Hasta donde yo soy consciente, no es convencional, a tomar exactamente las condiciones de contorno que asumimos para definir el dominio de $p_0$ a la hora de resolver la ecuación de Schrödinger en este caso. Podemos concluir que la noción de impulso no puede ser rigurosamente definidas en este ejemplo elemental? O, al menos, tenemos que admitir que algunas de $\psi$ que obedecer no-físico de las condiciones de contorno?

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Para los interesados, esta es una pregunta relacionada, también en cuanto al dominio de los problemas de impulso de los operadores.

Answer 1

Aunque podemos definir el impulso de auto-adjunto del operador en $L^2[0,1]$ como se propone, creo que es algo artificial a pensar acerca de como tener relación con el impulso en el caso de $L^2(\Bbb{R})$. Darse cuenta de que el operador $p_1$ con dominio $D(p_1)=\{\psi\in\mathcal{H}^1[0,1]\,|\,\psi(1)=\psi(0)\}$, está relacionado con el espacio, las traducciones a través del grupo unitario $U(t)=\exp(-itp_1)$, cuya acción es $$(U(t)\psi)(x)=\psi[x-t\pmod{1}],$$ así que se trata de una partícula en un toro, no en una infinita cuadrados. Diferentes valores de $\alpha$, acaba de dar a las diferentes fases de la función de onda cuando llega a la frontera y se va para el otro lado.

Así que, en mi opinión, estos operadores no están realmente relacionados con el impulso como usualmente concebido. La idea de un infinito cuadrados bien no permite espacial de las traducciones, así que no hay auto adjunto operador asociado a un único grupo de traducción en este caso. Esto sucede, por ejemplo, en el caso de una partícula en el postive real de la línea de $\Bbb{R}_+$. En este caso, el espacio $L^2[0,\infty)$ permite que sólo las traducciones a la derecha, no la izquierda, por lo que no se puede tener un auto-adjunto operador asociado a un grupo unitario de las traducciones. En este caso, el operador $p=-i\dfrac{d}{dx}$ no tiene auto-adjunto extensiones, para cualquier dominio inicial, aunque es simétrica. Para una partícula en una caja, podemos pensar de la misma manera. No hay ningún operador asociado a la espacial traducciones, porque no hay espacial traducciones permitido.

También es importante tener en cuenta que el hamiltoniano $H$ en este caso está dada por la Friedrich extensión de $$p_0^2=-\frac{d^2}{dx^2}\\ \mathcal{D}(p_0^2)=\{\psi\in\mathcal{H}^2[0,1]\,|\,\psi(0)=\psi'(0)=0=\psi'(1)=\psi(1)\}$$ $H$ no puede ser el cuadrado de cualquier $p_\alpha$, ya que los dominios no coinciden.

Edit: Como se ha señalado por @jjcale, una manera de tomar el impulso que en este caso debería ser $p=\sqrt{H}$, pero claramente, la acción de $p$ no puede ser un derivado, porque tiene las mismas funciones propias de $H$, los cuales son de la forma $\psi_k(x)=\sin \pi kx$. Este ilustrates el hecho de que no se relaciona con el espacio, las traducciones como se indicó anteriormente.

Edit 2: No es una prueba de que la fundación Friedrich extensión es el uno con Dirichilet condiciones de frontera en Simón Vol. II, sección X. 3.

Los dominios definidos por el teorema espectral son, de hecho,$\{\psi: p_\alpha\psi\in\mathcal{D}(p_\alpha)\}$. Para ver esto, se dan cuenta de que en este caso, dado que el espectro es puramente punto, por el teorema espectral, tenemos $$p_\alpha=\sum_{n\in \Bbb{Z}}\lambda_{\alpha,n}P_n,$$ donde $\lambda_{\alpha,n}$ son los autovalores asociados a los vectores propios normalizados $\psi_{\alpha,n}$, e $P_n=\psi_n\langle\psi_n,\cdot\rangle$ son las proyecciones en cada subespacio propio. El dominio $\mathcal{D}(p_\alpha)$ es el dado por los vectores $\xi$, de tal manera que $$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2\|P_n\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$$ También, $\xi\in\mathcal{D}(p_\alpha^2)$ fib $$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4\|P_n\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$$ Pero entonces, $p_\alpha\xi$ es $$\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2\|P_np_\alpha\xi\|^2=\sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle\psi_n,p_\alpha\xi\rangle|^2= \sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^2|\langle p_\alpha\psi_n,\xi\rangle|^2= \sum_{n\in \Bbb{Z}}|\lambda_{\alpha,n}|^4|\langle\psi_n,\xi\rangle|^2<+\infty$$ Por eso, $\mathcal{D}(p_\alpha^2)= \{\psi: p_\alpha\psi\in\mathcal{D}(p_\alpha)\}$.

Answer 2

El hecho de que $D(p_0)$ no es grande suficiente para definir un auto-adjunto del operador, no significa que no está incluido en el dominio de la auto-adjunto impulso. La elección de las condiciones de contorno para la función es una especificación del vector, no del operador.

Una vez que usted haya fijado la auto-adjunto de extensión que usted está considerando (elegir el dominio adecuado, generalmente de esencial auto-adjointness), usted puede tomar en cualquier estado en el dominio de aplicar el operador $p$. Obviamente, para el estudio de la ecuación de Schrödinger se necesita un vector en el dominio de la Hamiltoniana, no de un impulso (y no son vectores en $D(p_0)$, o $D(p_\alpha)$, que no pertenecen al dominio de la Hamiltoniana ;-) )

El problema, en general, es que el cierre de un operador es tomado en el gráfico de la topología, y que no es muy explícito, así que usted tiene que tener cuidado y asegúrese de fin en el derecho de cierre, que no han de ser demasiado pequeñas para ser igual que el dominio de los adjuntos.