Topología del límite inductivo y primer Countability

Question

Motivación: estoy haciendo el análisis funcional localmente convexo espacios para la primera vez y me gustaría saber cuando se me permita caracterizar el límite de puntos de continuidad y de forma secuencial. (Esta puede ser una pregunta tonta.)

Yo expresé mi pregunta de una manera abstracta, pero me importa sobre todo el $\mathcal{C}_0^\infty(\mathbb{R}^n)$.

Deje $(X_n)$ será cada vez más una secuencia de primera contables localmente convexo topológicos, espacios vectoriales y deje $X=\cup_n X_n$.

Si nos topologise $X$ con los mejores localmente convexo topología tal que las inclusiones $X_n\rightarrow X$ son todas continuas, es $X$ necesariamente una primera contables espacio?

(Un local de base para una topología dada por la colección de todos los equilibrado, convexo, absorbente conjuntos cuyas intersecciones con todos los $X_j$ está abierto en $X_j$.)

Actualmente estoy leyendo de Reed & Simon Métodos de la Física Matemática, me parece no puede encontrar demasiados moderna y sistemática de los tratamientos de localmente convexo espacios vectoriales!

Answer 1

Uno puede enfocar Alex Ravsky la respuesta:

Recordemos que un espacio vectorial topológico es metrizable si y sólo si es la primera contables.

Deje $X_n \subsetneqq X_{n+1} \subsetneqq \cdots$ ser estrictamente creciente secuencia de espacios de Fréchet, tales que cada una de las $X_n$ lleva la topología inducida por $X_{n+1}$. A continuación, $X = \varinjlim X_n$ no es metrizable.

El punto es que $X$ (véase por ejemplo, Schaefer-Lobo, la Proposición de 6.6 y su corolario). Si $X$ fueron metrizable, entonces $X = \bigcup_{n=1}^\infty X_n$ sería una unión de countably muchos denso en ninguna parte establece, en contradicción de la categoría de Baire teorema.

Answer 2

Parece que $X$ no es generalmente primer contable e incluso el límite directo $\mathbb{R}^\infty$ $\mathbb{R^n}$ tiene el carácter incontable, igual que el pequeño cardenal $\mathfrak d$. Si necesita referencias, yo voy a preguntar a mi Asesor científico para ellos.