Más precisamente, ¿cómo hace uno para caracterizar integralmente cerrado finitely generado dominios (por ejemplo, más de C) con base en las propiedades geométricas de sus variedades? Dado un finitely generado dominio y su integral de cierre a' (en su campo de fracciones), ¿cuál es la relación geométrica entre V(Un) y V(A')?
Si usted puede, frase de su respuesta en términos de complejos afín variedades.
La propiedad que usted está interesado en es conocido como es normal. Para afín variedades, la definición de normal es sólo que el anillo de coordenadas es integralmente cerrado, y el proceso de sustitución de una variedad por su coordenada anillo que se conoce como normalización (un general de la variedad que se dice normal si es localmente isomorfo a una variedad afín.) Hasta ahora he replanteado su pregunta; pero hay una serie de cosas conocidas. Para ello necesitamos la noción de uniformidad: para las variedades más C, este debe ser equivalente a ser un suave colector (la definición general es un poco técnico).
1: Cualquier variedad lisa es normal. 2: El conjunto de puntos singulares de una variedad de codimension >=2. Corolario: Para las curvas, normal <=> suavizar.
Shafarevich del Básico de la Geometría Algebraica vol. 1 es una buena referencia para este a partir de las variedades punto de vista (y trata con suavidad más rigurosamente).
En cuanto a la relación entre las variedades correspondientes a a y A': que en su mayoría sólo tienen la intuición de curvas, así que me quedo a hablar de ellos. Para las curvas, Un' es una versión de Una con las singularidades "resuelto": más específicamente, V(A') es una variedad lisa equipado con un surjective de morfismos de variedades de Un'->a, que es un isomorfismo de distancia de la preimages de los puntos singulares de A. (Esto debe ser así en las dimensiones superiores también pienso: es definitivamente cierto si uno está hablando de planes, pero creo que también es cierto que para afín variedades el mapa A->' induce un mapa V(A')->V(A).) Los dos ejemplos básicos a tener en cuenta aquí son los cuspidal cúbicos C_1: y^2 = x^3 y el nodal cúbicos C_2 y^2 = x^3 + x^2.
En el caso C_1: las coordenadas del anillo C[x, y]/(y^2 - x^3) ha integral de cierre isomorfo a C[t], y el mapa de las variedades aquí está el mapa de la afín a la línea a C_1 dada por t|-> (t^3, t^2). En este caso, el mapa es un bijection como conjuntos (pero no un isomorfismo de afín variedades! debido a la inversa mapa no se puede expresar como un polinomio mapa), y la "cúspide" de C_1 que es visible en el punto (0,0) ya no es evidente.
En el caso C_2: el anillo de coordenadas también ha integral de cierre isomorfo a C[t]: esta vez el mapa es un poco más complicado, pero es t|-> (t^2 -1 , t(t^2-1)). ¿Cómo puedo encontrar eso? En este caso, mirando a la curva, se ve que tiene un auto-intersección en el origen. Esto significa que debe haber dos puntos distintos en la normalización que han sido enviados al mismo punto en C_2. Otra manera de afirmar que es que debido a que la curva parece tener dos tangente líneas en el origen, que realmente debe ser dos puntos diferentes, uno en cada línea tangente. Cómo distinguirlos? Así, a medida que uno se acerca al origen de una dirección, la relación y/x tiende a 1 en el límite, mientras que si uno se acerca a él desde la otra dirección, la relación y/x tiende a -1: así en uno de nuestros dos puntos, y/x=1, y en el otro uno, y/x = -1. Puesto que y/x está bien definido en todas partes de la curva, esto sugiere que queremos t = y/x pertenecer a nuestro anillo de coordenadas en el origen. De hecho, t^2 = x +1, entonces t es integral, y podemos resolver para x y y en términos de t para obtener la respuesta original. Así que en este caso tenemos una surjective mapa de los afín a la línea de un auto-intersección de la curva, que es inyectiva en todas partes, excepto en la preimagen del punto singular en el origen.
Esta es la normalización. Como para la caracterización de ellos a lo largo de C, en el complejo de la topología de la variedad, pensar en él como significado (aproximadamente, no exactamente) a nivel local irreductible. Lo más importante es que normal variedades son suaves en codimension uno, y por lo que tienen un tiempo más fácil hablar acerca de divisores en ellos. Y de seguimiento para los demás. En la topología compleja, es normal equivalente a lisa en codim 1 y localmente irreductible? Estos criterios de manejar todos los casos me puede venir para arriba con la parte superior de mi cabeza.
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