Cómo probar $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} <2$ ?

Question

Demostrar la desigualdad para un triángulo con lados $a,b,c$ tenemos $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} <2$$

Juicio: Desde $a,b,c$ son lados de un triángulo que conozco $a+b>c,b+c>a,a+c>b$

Answer 1

\begin{align*}\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}<2&\iff 3-2<1-\frac a{b+c}+1-\frac b{c+a}+1-\frac c{a+b}\\&\iff 1<\frac {b+c-a}{b+c}+\frac {c+a-b}{c+a}+\frac {a+b-c}{a+b}\end{align*} Ahora $$\frac {b+c-a}{b+c}+\frac {c+a-b}{c+a}+\frac {a+b-c}{a+b}>\frac {b+c-a}{a+b+c}+\frac {c+a-b}{a+b+c}+\frac {a+b-c}{a+b+c}=1$$ Necesitas la desigualdad del triángulo para asegurarte de que las fracciones del lado izquierdo son positivas, así que las disminuyes aumentando el denominador.

Answer 2

Que $a,b,c$ son lados de un triángulo es equivalente a $a=x+y$ , $b=y+z$ y $c=z+x$ . Por lo tanto, podemos reescribir nuestra desigualdad como sigue: $$ \dfrac{x+y}{x+y+2z}+\dfrac{y+z}{2x+y+z}+\dfrac{z+x}{x+2y+z} <2 $$ Ahora, tenemos $\dfrac{x+y}{x+y+2z}<\dfrac{x+y}{x+y+z}$ , $\dfrac{y+z}{2x+y+z}<\dfrac{y+z}{x+y+z}$ y $\dfrac{z+x}{x+2y+z}<\dfrac{z+x}{x+y+z}$ y por lo tanto: $$ \dfrac{x+y}{x+y+2z}+\dfrac{y+z}{2x+y+z}+\dfrac{z+x}{x+2y+z} <\dfrac{x+y}{x+y+z}+\dfrac{y+z}{x+y+z}+\dfrac{z+x}{x+y+z} =2 $$