Cómo probar $p^2 \mid \binom {2p} {p }-2$ para la primera $p$ ?

Question

Cómo probar $p^2 \mid \binom {2p} {p } -2$ para la primera $p$ ?

Tengo una pista: para $1 \le i \le p-1$ , $p \mid \binom p i$ .

Ni siquiera puedo empezar la prueba. Por favor, ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que: $$\binom{2p}p=\sum_{i\mathop=0}^p\binom pi\binom p{p-i}=\sum_{i\mathop=0}^p\binom pi^2$$

De hecho, esta fórmula se puede generalizar:

$$\binom{a+b}r=\sum_{i\mathop=0}^r\binom ai\binom b{r-i}$$

La prueba puede derivarse considerando el coeficiente de $x^r$ en la expansión de $(1+x)^{a+b}$ y $(1+x)^a(1+x)^b$ respectivamente, que sería lo mismo.

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Ahora, por su insinuación, ya que $p$ es en realidad un primo, tenemos: $$p^2|\tbinom pi^2$$ donde $1\le i\le p-1$ .

Por lo tanto: $$\sum_{i\mathop=0}^p\binom pi^2=\dbinom p0^2+\sum_{i\mathop=1}^{p-1}\binom pi^2+\binom pp^2\equiv\dbinom p0^2+0+\dbinom pp^2=2\mbox{ (mod p}^2\mbox{)}$$

Answer 2

Una pista: $$ \binom{2p}{p}=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}\binom{p}{p-i}. $$ Esto se debe a que la elección de $p$ elementos de $2p$ es lo mismo que elegir $i$ de la primera $p$ y $p-i$ de la última $p$ elementos. Ahora, puedes usar la pista en tu declaración para terminar la prueba.