Existe una función exponencial no desaparición en $-\infty?$

Question

Estoy en busca de una función no constante $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ con las siguientes propiedades:

1) $f(a+b)=f(a)f(b)$

2) $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = 1$.

¿Es posible encontrar tal función o existe una razón por qué no puede existir tal función?

Answer 1

Por inducción, tiene $f (-n )=f(-1)^{n} $. La condición límite ahora fuerza $f (-1)=1$. Pero entonces, para cualquier $x $, $$f (-n+x)=f (-1)^nf (x)=f (x), $$ and now the limit condition gives $ f (x) = 1$.

Answer 2

La única función de $f : \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ de la satisfacción de 1) y 2) es la función constante $f \equiv 1$.

1. $f$ es positivo. En primer lugar, si $f(a) = 0$, $f(x) = f(x-a)f(a) = 0$ todos los $x$ e lo $f(x) \to 0$$x \to -\infty$, lo que contradice 2). Por lo $f$ nunca se desvanece. A continuación, $f(x) = f(x/2)^2 > 0$ y, por tanto, $f$ es siempre positivo.

2. Ahora vamos a $g(x) = \log f(x)$. Esta función satisface las Cauchy funcional de la ecuación $$g(x+y) = g(x) + g(y).$$ Desde $g(x) \to 0$$x \to -\infty$, en el gráfico de $g$ no puede ser denso en $\Bbb{R}^2$ e lo $g$ es lineal: $g(x) = cx$ para algunas constantes $c$.

3. La única posibilidad para $f(x) = \mathrm{e}^{cx}$ a satisfacer 2), es que $c = 0$. Esto corresponde a $f \equiv 1$.

(De hecho, el argumento de arriba clasifica todas las funciones que satisfacen 1): $f \equiv 0$ o $\log f$ resuelve el Cauchy funcional de la ecuación.)

Answer 3

f (x) = 1 funciona pero no satisfacer.

Answer 4

Prueba de áspera.

Asumiendo $f$ continua. Invertir la condición así que $f(x) \to 1$ $x \to +\infty$. También $f \neq 1$ en cualquier lugar.

Puesto que la función tiene un límite de $1$, también lo hace la secuencia $a_k = f(2^kx), k \in \mathbb{N}, x > 0$.

Escoger un término de esta secuencia $a_p$ tal que $|a_p - 1| < 1$.

Desde $a_{k+1} = {a_k}^2$, si es aumento de $a_p = 1 + s > 1$, entonces $a_{p+k+1} > a_{p+k}$, que $|a_j - 1|$ %. (no limitativo). Similares para $a_p = 1-t < 1$.