¿Podemos nosotros realmente se entrecruzan círculos?

Question

Euclides y sus Elementos fueron un gran trabajo, pero en los estándares modernos, no es totalmente riguroso. Uno de sus mayores defectos es la derecha en la Proposición 1, donde él no es prueba de que los dos círculos se intersectan, con el fin de construir un triángulo equilátero.

El problema de la intersección de los círculos también viene en las pruebas de hechos simples, como la existencia de medios para cada segmento de línea.

Para probar esto necesitamos un adicional de axiomas. Enfoques modernos han resuelto este problema. Aunque es aparentemente trivial, no me parece que ser capaz de demostrarlo. Incluso Hilbert Fundamentos de la Geometría saltado este resultado.

Entonces, mi pregunta es:

El uso de un moderno enfoque axiomático, como los axiomas de Hilbert, ¿cómo se podría demostrar que, dado que los puntos de $A$$B$, los círculos centrados, respectivamente, en $A $ $B $ y radio de $\overline{AB}$ se intersecan en (al menos) dos puntos?

Espero que usted me puede ilustrar. Tal vez esto es tan simple que no puede ver, o no he buscado en el lugar correcto.

Answer 1

Esto se explica en gran detalle en Greenberg Euclidiana y la Geometría No Euclidiana, que incluye el "Círculo-Círculo de Continuidad de Principio":

Si un círculo $\gamma$ tiene un punto en el interior y un punto fuera de otro círculo $\gamma'$, entonces los dos círculos se intersectan en dos puntos.

Greenberg también se describen los relacionados con la "Línea de Círculo Principio de Continuidad" y "Segmento de Círculo Principio de Continuidad". Su tratamiento de muestra que el primero de estos principios implica a los otros dos. Él también escribe (p. 131, 4ª edición):

Usted puede preguntarse por qué hemos llamado a estos tres declaraciones de "principios" en lugar de "teoremas" o "axiomas". Estos dos últimos serían los teoremas si asumimos que la primera de ellas (como se verá más adelante), pero no queremos llamar a la primera un axioma porque queremos iluminar exactamente donde se necesita, y luego vamos a la ea como una hipótesis.

Greenberg dice (pág. 137) que el círculo-círculo de continuidad principio puede ser probado en el axioma de Dedekind:

Supongamos que el conjunto $\{l\}$ de todos los puntos en una línea de $l$ es distinto de la unión de $\Sigma_1 \cup \Sigma_2$ de dos subconjuntos no vacíos tales que ningún punto de subconjunto es entre dos puntos de la otra. Entonces existe un único punto de $O$ $l$ tal que uno de los subconjuntos es igual a la de un rayo de $l$l con el proveedor $O$ y el otro subconjunto es igual al complemento.

Greenberg señala que la prueba de el Círculo-Círculo de principio a partir del axioma de Dedekind es demostrado por Heath en su comentario sobre los Elementos.

Debo añadir que yo creo (no muy positivo) que el axioma de Dedekind es una consecuencia de (tal vez es equivalente a?) Hilbert "Axioma de Completitud". Por lo que no es correcto decir que Hilbert no dirección este.

Answer 2

Sucede que tengo una copia de "Geometría, Trigonometría" por Patrick D. Barry [publicado en 2001], por lo que sólo he revisado el inicio del capítulo sobre los círculos para ver cómo se maneja. Resulta que este autor aborda el tema de forma explícita la introducción real de la numeración de las mediciones de distancias entre los puntos (y el ángulo de los tamaños etc), a continuación, utiliza el Triángulo de la Desigualdad y el Teorema de Pitágoras para razonar acerca de ciertos puntos en la línea. Lo esencial es que la primera vez que se localiza el pie de la perpendicular desde el centro del círculo a la línea; luego, razones (a) si el pie está en el círculo, todos los otros puntos se encuentran más lejos del centro que, por lo que la línea cruza el círculo en un punto; (b) si el pie está fuera del círculo, por lo que son todos los demás puntos de la línea, por lo que la línea no se cruzan el círculo; (c) si el pie está en el interior del círculo, hay dos puntos en la recta cuya distancia desde el pie son dados por la raíz cuadrada de la expresión - aquí se utiliza la distancia desde el centro a los pies y el radio y funciona el Teorema de Pitágoras hacia atrás, a continuación, muestra que la distancia desde el centro de cada punto es igual al radio, por lo que los puntos deben estar en el círculo (la línea que pasa a través del centro es manejado como un caso especial).

ADDENDUM: acabo de recordar que se trata de dos círculos, mientras que el argumento de arriba ocupa una línea y un círculo. El autor no se muestran de forma explícita que, tan lejos como puedo ver, pero es probable que sigue del argumento anterior en el corto plazo, dado el derecho de la construcción. En cualquier caso, se puede ver cómo tales argumentos pueden ser hechas.

Answer 3

Dados dos puntos $A$, $B$ en el plano hay el punto medio $M$ del segmento de $[A,B]$ y la línea de $\ell$ ortogonal a $A\vee B$ a través de $M$. La congruencia de los axiomas de garantizar que todos los puntos de $P\in\ell$ tienen la misma distancia de a$A$$B$. El punto de $M\in\ell$ a pie ${1\over2}|AB|$ a partir de estos dos puntos, y los puntos en $\ell$ tiene una distancia de más de $|AB|$ a partir de estos dos puntos. "La continuidad", a continuación, implica la existencia de dos puntos de $P$, $Q\in\ell$ con $|PA|=|QA|=|AB|$, por lo tanto también es $|PB|=|QB|=|AB|$. De ello se deduce que los dos círculos se menciona en la pregunta, se cruzan al menos en los dos puntos de $P$$Q$.

En esta prueba se ha hecho uso de algún tipo de "integridad" de la línea de $\ell$, pero no intuitivo de los argumentos sobre el interior y el exterior de los círculos, etc.