¿Es cierto que si $f(x)$ tiene un factor lineal $\mathbb{F}_p$ por cada % primer $p$, entonces $f(x)$ es reducible $\mathbb{Q}$?

Question

Sabemos que $f(x)=x^4+1$ es un polinomio irreducible sobre$\mathbb{Q}$, pero se reduce más de $\mathbb{F}_p$ por cada prime $p$.

Mi pregunta es:

Es cierto que si $f(x)$ tiene una relación lineal factor de $\mathbb{F}_p$ por cada prime $p$, $f(x)$ tiene una relación lineal factor de $\mathbb{Q}$?

Edit: Gracias por @Jyrki Lahtonen la respuesta, quiero hacer algunas modificaciones:

Es cierto que si $f(x)$ tiene una relación lineal factor de $\mathbb{F}_p$ por cada prime $p$, $f(x)$ es reducible $\mathbb{Q}$?

Gracias de antemano!

Answer 1

Para tu pregunta de seguimiento, sólo lineal de polinomios no funcionan :

Supongamos $G$ es un subgrupo de $S_n$ tal que $G$ actúa transitivamente sobre $\{1\ldots n\}$, y deje $H_i^j = \{\sigma \in G \mid \sigma(i)=j \}$.

Si $\tau(i)=j$$H_i^k = H_j^k \tau$, e $H_k^j = \tau H_k^i$. Desde $G$ es transitiva, de todas las $H_i^j$ tiene el mismo cardinal. Ya que cada elemento de a $G$ $n$ tales $H_i^j$,$|H_i^j| = |G|/n$, y, en particular, los elementos en $G$ tienen un promedio de $\sum |H_i^i|/|G| = 1$ punto fijo. Desde el elemento de identidad ha $n$ fixpoints, si $n>1$ debe haber algunos elementos en $G$ sin fixpoints.

Así que si usted tiene un polinomio irreducible de grado $n$$\Bbb Q$. Su grupo de Galois es transitiva en su $n$ raíces, así que si $n>1$, tiene algunos elementos sin fixpoints. Luego Cebotarev del teorema dice que existen infinitos números primos $p$ para que el polinomio no lineal factor de $\Bbb F_p$

Así que si $P$ tiene factores lineales para todos los números primos, entonces es reducible o de grado $1$.

Answer 2

Jajaja Considerar $$ f(x)=(x^2+1)(x^2+2)(x^2-2). $$ Modulo cualquier primer por lo menos uno de los números $-1$, $-2$, $2$ es un residuo cuadrático. Por lo tanto $f(x)$ tiene un factor lineal modulo $p$ % primos todos $p$.