Por qué es $2^{32}-1=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)?$

Question

¿Hay una explicación fácil para este patrón curioso?

Answer 1

He aquí una más de combinatoria explicación : cada número entero positivo puede escribirse de forma única como suma de los distintos poderes de $2$ (esto se llama la descomposición en base $2$ de ese número, aquí tomamos la convención que $0$ es representado por un vacío de la suma). Y aún más precisamente : cada número entero negativo $< 2^{n+1}$ puede escribirse de forma única como suma de los distintos poderes de $2$$2^n$.

Si usted desarrolla $(1+2)(1+2^2)\ldots (1+2^n)$, usted recibirá una suma de términos de la forma $2^a$ donde $a$ ciclo a través de todas las sumas posibles de la energía de $2$$2^n$. Así que todos los números posibles $0 \le a < 2^{n+1}$ aparece exactamente una vez en esta suma así

$$(1+2)(1+2^2)\ldots (1+2^n) = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^n = 2^{n-1}-1$$

La última igualdad proviene del hecho de que $1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^n$ es claramente el mayor número que se puede escribir con los poderes de $2$$2^n$, por lo que es $2^{n-1}-1$.

Answer 2

Espero sabes que $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ y que $a^{2n}=\left(a^n\right)^2$.

Entonces

$$$$

\begin{align} 2^{32}-1 & = (2^{16})^2-1^2 \\ & = (2^{16}+1)(2^{16}-1) \\ & = (2^{16}+1)((2^8)^2-1^2) \\ & = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1) \\ & = (2^{16}+1)(2^8+1)((2^4)^2-1^2) \\ & = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1) \\ & = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)((2^2)^2-1^2) \\ & = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1) \\ & = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1^2) \\ & = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)(2-1) \\ & = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1) \\ & = (2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) \\ \end {Alinee el}

Answer 3

% De uso $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$y $1^n = 1$ (por supuesto). El resultado sigue con álgebra simple. Explícitamente:

$$2^{32}-1 = (2^{16})^2-1^2=(2^{16}+1)(2^{16}-1)=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^8-1) = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^4-1)=(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1) =(2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)(2-1) = (2^{16}+1)(2^8+1)(2^4+1)(2^2+1)(2+1)$$

Answer 4

Sí, escribir $(2+1)=(2^2-1)$ y utilizando repetidamente la identidad $(a+b)(a-b)=(a^2 - b^2)$ llegar el resultado.

Answer 5

Más generalmente (que $(a,b,n)=(2,1,5)$ para su problema), $$a^{2^n}-b^{2^n}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)\left(a^{2^2}+b^{2^2}\right)\cdots \left(a^{2^{n-1}}+b^{2^{n-1}}\right)$ $

Para entender por qué, recordar la factorización muy útil:
$$(A-B)(A+B)=A^2-B^2$$

Aplicar varias veces.