¿Es $(\mathbb{Q},+)$ el producto directo de dos subgrupos no trivial?

Question

¿Es esta declaración verdadera o falsa? Realmente no tengo ni idea cómo probar o un contraejemplo, por favor ayuda.

¿$(\mathbb{Q},+)$ Es un producto directo de dos subgrupos no trivial?

Answer 1

Sugerencia: Si $\Bbb Q=H\times G$, entonces existe un homomorfismo obvia $h:\Bbb Q\to G$ con kernel $H$. Ahora considere esta pregunta anterior.

Answer 2

Que $H,K \leq \mathbb{Q}$ ser dos subgrupos tales que $\mathbb{Q} \simeq H \times K$.

Observe que $H$ es divisible: si $h \in H$ y $n \in \mathbb{N}^*$, allí existen $(h_0,k_0) \in H \times K$ tal que $\displaystyle \frac{h}{n}=h_0+k_0$; así $nk_0 = h-nh_0 \in H \cap K=\{0\}$, por lo tanto, $k_0=0$ y $h/n \in H$.

Si existe $\displaystyle h:=\frac{p}{q} \in H \backslash \{0\}$, entonces el $\displaystyle 1=q \cdot \frac{h}{p} \in H$ ($H$ es divisible). Así $\mathbb{Z} \subset H$, y porque es divisible, $H$ $\mathbb{Q} \subset H$.

Por lo tanto, $H= \mathbb{Q}$ y $K= \{0\}$.