Cómo encontrar un campo de división $x^8-3$ en $\mathbb{Q}$ ?

Question

Esta es la situación. Estoy en esta clase de álgebra, y hasta ahora hemos definido los campos de división y demostrado su existencia y unicidad. Por cierto, todavía no hemos decidido ninguna definición rigurosa de los números complejos. Para una pregunta de tarea (y sí, se nos permite usar los recursos de internet que queramos),

Tengo que encontrar un campo de división para $x^8-3$ en $\mathbb{Q}$ y encontrar su grado de extensión.

No sé muy bien cómo hacerlo. Si puedo usar que los números complejos son algebraicamente cerrados, ¿no puedo simplemente adosar todas las raíces, o hay algo más explícito que pueda hacer para encontrar el grado de extensión?

Answer 1

Denota por $K$ el campo de división de $x^8-1$ . Claramente $x^8-1$ tiene $8$ raíces complejas, a saber $\zeta^i\cdot\sqrt[8]{3}$ para $i=0,\dots,7$ y $\zeta$ es una primitiva $8^{th}$ raíz de la unidad. Como $K$ contiene $\zeta\cdot\sqrt[8]{3}$ y $\sqrt[8]{3}$ debe contener su cociente $\zeta$ . También contiene $\sqrt[8]{3}$ y podemos concluir que $K\supseteq\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[8]{3})$ . Por otro lado, cualquier campo que contenga estos dos elementos debe contener el campo de división para $x^8-1$ Por lo tanto $K=\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[8]{3})$ .

Para determinar la dimensión de esta extensión, recordemos que los automorfismos de campo permutan las raíces de los polinomios mínimos. $\sqrt[8]{3}$ tiene un polinomio mínimo $x^8-3$ en $\mathbb{Q}$ , ( $x^8-3$ es 3-Eisenstein, y por tanto irreducible). $\zeta$ tiene un polinomio mínimo $\Phi_8(x)=x^4+1$ (véase más adelante), por lo que $\mathbb{Q}(\zeta)$ es una extensión de dimensión 4 sobre $\mathbb{Q}$ . No es difícil ver que $\zeta\notin\mathbb{Q}(\sqrt[8]{3})$ Por lo tanto $K$ es de dimensión $4\cdot8=32$ en $\mathbb{Q}$ .

Por último, recordemos (véase Dummit & Foote 13.6, por ejemplo) que el $n^{th}$ las raíces de la unidad satisfacen

$x^n-1=\prod\Phi_d(x)$

donde $d$ va sobre todos los divisores de $n$ . En nuestro caso, $n=8$ ,

$x^8-1 = (x^4-1)\cdot(x^4+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)\cdot(x^4+1)$

donde los tres primeros multiplicadores de la última igualdad son $\Phi_1(x)=x-1$ , $\Phi_2(x)=x+1$ y $\Phi_4(x)=x^2+1$ .

Como comentario final, podríamos haber tomado $\zeta=(1+i)\sqrt{2}/2$ . De un argumento similar al anterior, $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)\supseteq\mathbb{Q}(\zeta)$ . Sin embargo, ambos lados son una extensión de 4 dimensiones sobre $\mathbb{Q}$ por lo que deben ser iguales. Esto también se puede demostrar directamente, escribiendo $i$ y $\sqrt{2}$ sólo utilizando potencias de $\zeta$ .

En resumen, el campo de división de $x^8-3$ es $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i,\sqrt[8]{3})=\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[8]{3})$ .

Answer 2

Decir simplemente "adyacente a todas las raíces" no va a ayudar realmente a averiguar el grado de la extensión.

Así que realmente quieres ser más explícito.

Una raíz es claramente $\sqrt[8]{3}$ . Otra es $-\sqrt[8]{3}$ ; pero éstas son las dos únicas raíces reales, y se supone que el campo de división tiene 8 raíces, por lo que no lo son; seguramente tendrás que tratar con números complejos. Pero debes saber cuál es el grado de $\mathbb{Q}[\sqrt[8]{3}]$ en $\mathbb{Q}$ es, lo que también le permitirá comenzar con los grados.

¿Cuánto sabes sobre las "raíces complejas de la unidad"? Quieres algún número complejo $\zeta$ con la propiedad de que $\zeta^8 = 1$ . Busca "raíces primitivas de la unidad". Eso debería ayudarte a continuar.