¿Cuándo usar cerrado gráfico teorema vs uniforme fronteridad Teorema?

Question

Me quedo en el problema que me saben a menudo es solucionable con el Cerrado Gráfico Teorema o Acotamiento Uniforme Teorema. Me parece que al mezclar las soluciones. Hay consejos sobre cuándo utilizar? O pueden ser utilizados resolver el mismo problema?

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Un ejemplo: Deje $X$ ser un espacio de Banach y deje $T_n$ ser una secuencia de limitada lineal mapas de $X$ dentro de sí mismo, tal que para cada a $x\in X$ hemos $$ \lim_{n\rightarrow \infty} T_nx = x$$ in the norm of $X$. Show that the linear map $T:X\rightarrow X$ is continuous iff the maps $T_nT$ are continuous for each $n\geq 1$.

Para ($\Leftarrow$), traté de usar el Cerrado Gráfico Teorema de la siguiente manera. Suponga $x_n \rightarrow x$$Tx\rightarrow y$. A continuación, $$\lim_{m \rightarrow \infty} T_mT\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = \lim_{m \rightarrow \infty} T_my = y,$$ y $$\lim_{m \rightarrow \infty} T_mT\lim_{n \rightarrow \infty}x_n = \lim_{m \rightarrow \infty} T_mTx = Tx,$$ y por Cerrado el Teorema de la Gráfica, hemos terminado.

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Sin embargo, la solución al ejercicio resuelto utilizando los Uniformados Acotamiento Teorema.

Answer 1

Los "tres grandes" teoremas acerca de los espacios de Banach que ocurren con frecuencia en el análisis funcional son:

1. el de Hahn-Banach Teorema (HBT),
2. el Principio de uniformidad de Acotamiento (PUB) (también conocido como el Uniforme de Acotamiento Teorema o la de Banach-Steinhaus Teorema), y
3. la Asignación Abierta Teorema (OMT).

Usted puede fácilmente agregar dos más "nombre de teoremas":

3(a). el Cerrado Gráfico Teorema (CGT), y

3(b). el Delimitada Inversa Teorema (BITS).

Sin embargo, $$\text{OMT} \iff \text{CGT} \iff \text{BIT}, \tag{1}$$, así que usted recuerde que usted puede reducir su lista mental de los "tres grandes" de arriba.

PUB y OMT---aunque no equivalentes---son hermanos, ya que ambos provienen de la Categoría de Baire Teorema. Para más información, vea esto.

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Puesto que usted está pidiendo específicamente acerca de la CGT frente PUB, vale la pena mencionar (una versión de estas side-by-side para comparar y contrastar:

Principio de uniformidad de Acotamiento. Deje $X$ ser un espacio de Banach y $Y$ una normativa espacio lineal. Deje $\{T_n\}$ ser una secuencia de limitada lineal de operadores, $T_n:X\to Y$ tal que $\{\|T_nx\|\}$ (pointwise) delimitado, es decir, $$\exists C_x\text{(independent of $n$) such that } \|T_nx\|\le C_x, \qquad \forall x\in X,\ n\in\mathbb{N}.$$ Then $\{\|T_n\|\}$ is uniformly bounded, i.e., $$\exists C\text{ such that }\|T_n\|\le C, \qquad n\in\mathbb{N}.$$

Cerrado Gráfico Teorema. Si $X$ $Y$ son espacios de Banach y $T:X\to Y$ es un cerrado operador lineal (es decir, se ha cerrado el gráfico), a continuación, $T$ está acotada.

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Volviendo a tu pregunta: si usted se está preguntando si cualquier problema que encuentro que puede ser manejado con uno de estos, también se pueden cubrir con la otra, la respuesta debe ser no desde CGT exige la integridad de $Y$, mientras que el PUB no.

Sin embargo, asumiendo que todas las hipótesis de cada teorema están satisfechos, sin duda, uno puede imaginar los problemas (dirigido a deducir el acotamiento o la continuidad de un operador), donde cualquiera podría ser utilizado.

Tenga en cuenta que HB no requiere de la integridad de la base de espacios (y por lo tanto normalmente aparece por primera vez en los textos); PUB requiere de $X$ (pero no $Y$) para ser completo; y OMT/CGT/BIT requieren tanto de la $X$ $Y$ a ser completa.

Creo que de los "tres grandes" como relacionadas, pero distintas herramientas para el logro de (tal vez) a las diferentes tareas. Si se trata de un lineal funcionales o dobles espacios, HB debe estar en su radar. Si usted tiene pointwise estimaciones en una secuencia de operadores y quiere uniforme estimaciones, mirada de la PUB. Si desea deducir acotamiento/continuidad acerca de un operador, mirar hacia el trío de la OMT/CGT/BIT dependiendo de lo que usted sabe acerca de los ingredientes de esa situación en particular.