¿Hacia una fórmula para la función de Euler $\phi$?

Question

1. $\Phi_n(1)$ $\Phi_n(-1)$ para el cyclotomic polinomios son bien conocidos.

   Ahora estoy buscando $$\Phi_n(i)$$ and/or $$\Phi_n(-i)$$ with $i$ la unidad compleja.

2. La razón es :

   Supongo que es cierto que $(1-i)^{\phi(n)}\Phi_n(i)$ es cero o de la forma $$(-1)^{f(n)}2^{g(n)}$$ para algunos racional de las funciones con valores. Ahora acaba de $f(n)$ $g(n)$ son desconocidas para mí. Pero si todos los cálculos tendría éxito tomando logaritmos $\phi(n)$ tal vez puede ser calculado.

   Las ideas detrás de la que dependen los polinomios definidos por William E Heierman publicado en su Sitio Web.

Answer 1

Después de mucho pensar, mi conjetura en cambio es el siguiente. Que $\nu=\nu_2(n)$, $\omega_1$ el número de números primos distintos $\equiv 1\pmod{4}$ $n$, $\omega_3$ que ser el número de números primos distintos $\equiv 3\pmod{4}$ $n$ que. Reclamo: $$\begin{array}{rl}\textbf{If...}&\textbf{then...}\\ n=2&\Phi_n(i)=1+i\\ n=4&\Phi_n(i)=0\\ n=2^{k},k\geq 2&\Phi_n(i)=2\\ n=4p&\Phi_n(i)=p\\ \omega_1\geq 1,n\neq 4p & \Phi_n(i)=1\\ \nu\geq 3&\Phi_n(i)=1\\ \omega_3\geq 3&\Phi_n(i)=1\\ \omega_1=0,\omega_3=1,\nu=0&\Phi_n(i)=i\\ \omega_1=0,\omega_3=1,\nu=1&\Phi_n(i)=-i\\ \omega_1=0,\omega_3=2,\nu<2&\Phi_n(i)=-1\\ \omega_1=0,\omega_3=2,\nu=2&\Phi_n(i)=1.\\ \end{matriz} $$ por favor verificar esta conjetura. Soy demasiado perezoso ahora demostrar que posee en virtud de: $$\Phi_n(i)=\prod_{d\mid n}\left(i^{n/d}-1\right)^{\mu(d)}$ $ por una inducción dependiendo de once casos diferentes, pero en algún lugar puedo encontrar la fuerza para hacer mis cálculos, si esto es realmente útil.

Answer 2

Hice un cálculo de $n\ge 3$ y obtener

$$\prod_{E_n}\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)=\frac{\Phi_n(-1)}{2^{\phi(n)}}$$

Esta fórmula puede ser totalmente errónea en este momento.

Tengo no el Mathematica de CAS disponibles y no las habilidades de programación para comprobar por otros CAS libremente disponible.

Answer 3

Recalcular la fórmula y es

$$\prod_{E_n}\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)=(-1)^{\frac{\phi(n)}{2}}\frac{\Phi_n(-1)}{2^{\phi(n)}}$$

$n>2$. Tomando valores absolutos en ambos lados permite entonces calcular $\phi(n)$.